Сортирующие сети для квадратичных сортировок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Сортировка пузырьком)
м (Сортировка выбором)
 
(не показана 31 промежуточная версия 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
Рассмотрим модели [[Сортирующие сети|сортирующих сетей]] для квадратичных сортировок.  
 
 
Рассмотрим модели сортирующих сетей для квадратичных сортировок.  
 
  
 
== Сортирующие сети с последовательной сортировкой ==
 
== Сортирующие сети с последовательной сортировкой ==
  
 
На один слой будем устанавливать только один компаратор. Все последующие сети получаются простым моделированием соответствующих сортировок.
 
На один слой будем устанавливать только один компаратор. Все последующие сети получаются простым моделированием соответствующих сортировок.
 +
{| cellpadding="10"
 +
| '''[[Сортировка пузырьком]]''' || '''[[Сортировка вставками]]''' || '''[[Сортировка выбором]]'''
 +
|-
 +
| [[Файл:Bubblesort.png]] || [[Файл:Insertsort.png]] || [[Файл:Choosesort.png‎]]
 +
|}
 +
 +
== Сортирующие сети с параллельной сортировкой ==
  
=== [[Сортировка пузырьком]] ===
+
На один слой устанавливается несколько компараторов.
  
[[Файл:Bubblesort.png]]
+
=== Сортировка пузырьком и вставками ===
  
=== Сортировка вставками ===
+
Заметим, что если сжать последовательные сортирующие сети пузырьком и вставками, то результат будет одним и тем же. Это видно из симметрии расположения компараторов на картинках выше.
 +
{{
 +
Утверждение
 +
|statement=
 +
В результирующей сети будет <tex>(2n - 3)</tex> слоев, где <tex>n</tex> — количество входов.
 +
|proof=  
 +
Докажем данное утверждение по принципу математической индукции.
  
[[Файл:Insertsort.png]]
+
'''База индукции''':
  
=== Сортировка выбором ===
+
При <tex> n = 2 </tex>. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется.
  
[[Файл:Choosesort.png‎]]
+
'''Шаг индукции''':  
  
== Сортирующие сети с параллельной сортировкой ==
+
Пусть <tex> S(n) = 2n - 3 </tex> — количество слоев в сети сортировки.
  
На один слой будем устанавливать несколько компараторов.
+
При переходе от сортирующей сети с <tex>n</tex> входами к сети с <tex>n + 1</tex> входами, добавляем <tex> n </tex> дополнительных компараторов (<tex>[1:2],[2:3]\dots[n:n + 1]</tex> или <tex>[n + 1:n],[n:n + 1]\dots[1:2]</tex>, т.к. возможны две стратегии добавления; отсюда, кстати, тоже видна эквивалентность схем для обоих сортировок). Будем также поддерживать сортирующую сеть в виде "треугольной" сети. Таким образом компараторы <tex>[i:i+1],\ i \geqslant 3</tex> можно расположить в существующих слоях над самым верхним компаратором в соответствующем слое. То есть в сети с <tex> n </tex> входами был слой с единственным компаратором <tex>[1:2]</tex>, поэтому над ним можно разместить компаратор <tex>[3 : 4]</tex>, на <tex>[2:3]</tex> {{---}} <tex>[4:5]</tex>. Затем на следующем слое будет уже два компаратора: <tex>[3 : 4]</tex> над <tex>[1:2]</tex>, поэтому сверху можно добавить <tex> [5: 6]</tex>. В общем виде, на слое с номером <tex> k \geqslant 0 </tex> с конца (до середины треугольника), будет <tex>\left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor + 1</tex> компараторов, последним из которых является <tex>[k + 1 : k + 2]</tex>, следовательно, на этот слой можно добавить компаратор
 +
<tex>[k + 3 : k + 4]</tex>.
  
=== Сортировка пузырьком и вставками ===
+
Значит, новые слои создадутся лишь благодаря компаратором <tex>[1:2]</tex> и <tex>[2:3]</tex>, поэтому число слоёв в новой сети составит <tex>S(n+1) = 2n - 3 + 1 = 2n - 1 = 2(n + 1) - 3</tex>, что удовлетворяет нашему соотношению.
  
Интересно два факта:
+
}}
  
* Если сжать последовательные сортирующие сети пузырьком и вставками, то результат будет одним и тем же.
+
Сортирующая сеть для <tex> n = 6 </tex>:
* В результирующей сети будет <tex>(2n - 3)</tex> слоев.
 
  
 
[[Файл:Parralelsort.png‎]]
 
[[Файл:Parralelsort.png‎]]
Строка 34: Строка 45:
 
=== Сортировка выбором ===
 
=== Сортировка выбором ===
  
[[Файл:Choosesortparralel.png‎]]
+
Сеть для [[Сортировка выбором | сортировки выбором]] выглядит иначе. При переходе к сети с <tex> n + 1 </tex> входами, добавляется <tex> n </tex> компараторов: <tex> [0:1],[0:2]\dots[0:n] </tex>, .
 +
 
 +
[[Файл:Choosesortparralel2.png‎]]
 +
 
 +
{{
 +
Утверждение
 +
|statement=
 +
В результирующей сети будет <tex>2n - 3</tex> слоев, где <tex> n </tex> — количество входов.
 +
|proof=
 +
Определим операцию вложения компаратора <tex> [i:j] </tex> в компаратор <tex> [t:s] </tex> : разместим компаратор  <tex> [i:j] </tex> и <tex> [t:s] </tex> на одном слое, так, что <tex> t < i < j < s </tex>.
 +
 
 +
Теперь воспользуемся принципом математической индукции.
 +
 
 +
'''База индукции''':
 +
 
 +
<tex> n = 2 </tex>. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется.
 +
 
 +
'''Шаг индукции''':
 +
 
 +
Пусть <tex> S(n) </tex> — количество слоев в сети сортировки с <tex> n </tex> входами.
 +
 
 +
При переходе от сортирующей сети с <tex>n</tex> входами к сети с <tex>n + 1</tex> входами, добавляем <tex> n </tex> компараторов <tex>\left( [0:1] \dots [0:n]\right) </tex>. Заметим, что в <tex> n - 2 </tex> добавленных компаратора можно вложить <tex> n - 2 </tex> компараторов из предыдущей сети, так, вкладывая один компаратор в другой, образуется новый слой, т.е. количество слоев не изменяется. Тогда останется два компаратора: <tex>[0:1], [0:2] </tex> в которые ничего нельзя вложить, т.е. количество слоев изменяется на <tex> 2 = S(n + 1) - S(n) </tex>.
 +
 
 +
Тогда наш переход выполняется и формула верна. Что и требовалось доказать.
 +
 
 +
}}
 +
 
 +
Пример правильной и ошибочной сети для <tex> n = 4 </tex>. Если перенести свободные компараторы и слить их в один слой, то можно уменьшить количество слоев, но при этом сеть перестает быть сортирующей (при <tex> n = 4 </tex> ошибка будет возникать на последовательности <tex> [0,1,0,0] </tex>).
 +
 
 +
[[Файл:MyRis.jpg]]
 +
 
 +
==См.также==
 +
* [[Сортировочные сети с особыми свойствами]]
 +
 
 +
== Источники информации==
 +
*Дональд Э. Кнут. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и Поиск. стр. 238— ISBN 0-201-89685-0
 +
*Кормен, Томас Х.,Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 27. Сортирующие сети // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — С. 799 - 822. — ISBN 5-8459-0857-4.
 +
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B5%D1%82%D1%8C_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8 Википедия — Сети сортировки]
 +
 
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
  
== Источники ==
+
[[Категория: Сортирующие сети]]
* Дональд Э. Кнут. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и Поиск.
 

Текущая версия на 21:06, 25 мая 2015

Рассмотрим модели сортирующих сетей для квадратичных сортировок.

Сортирующие сети с последовательной сортировкой[править]

На один слой будем устанавливать только один компаратор. Все последующие сети получаются простым моделированием соответствующих сортировок.

Сортировка пузырьком Сортировка вставками Сортировка выбором
Bubblesort.png Insertsort.png Choosesort.png

Сортирующие сети с параллельной сортировкой[править]

На один слой устанавливается несколько компараторов.

Сортировка пузырьком и вставками[править]

Заметим, что если сжать последовательные сортирующие сети пузырьком и вставками, то результат будет одним и тем же. Это видно из симметрии расположения компараторов на картинках выше.

Утверждение:
В результирующей сети будет [math](2n - 3)[/math] слоев, где [math]n[/math] — количество входов.
[math]\triangleright[/math]

Докажем данное утверждение по принципу математической индукции.

База индукции:

При [math] n = 2 [/math]. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется.

Шаг индукции:

Пусть [math] S(n) = 2n - 3 [/math] — количество слоев в сети сортировки.

При переходе от сортирующей сети с [math]n[/math] входами к сети с [math]n + 1[/math] входами, добавляем [math] n [/math] дополнительных компараторов ([math][1:2],[2:3]\dots[n:n + 1][/math] или [math][n + 1:n],[n:n + 1]\dots[1:2][/math], т.к. возможны две стратегии добавления; отсюда, кстати, тоже видна эквивалентность схем для обоих сортировок). Будем также поддерживать сортирующую сеть в виде "треугольной" сети. Таким образом компараторы [math][i:i+1],\ i \geqslant 3[/math] можно расположить в существующих слоях над самым верхним компаратором в соответствующем слое. То есть в сети с [math] n [/math] входами был слой с единственным компаратором [math][1:2][/math], поэтому над ним можно разместить компаратор [math][3 : 4][/math], на [math][2:3][/math][math][4:5][/math]. Затем на следующем слое будет уже два компаратора: [math][3 : 4][/math] над [math][1:2][/math], поэтому сверху можно добавить [math] [5: 6][/math]. В общем виде, на слое с номером [math] k \geqslant 0 [/math] с конца (до середины треугольника), будет [math]\left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor + 1[/math] компараторов, последним из которых является [math][k + 1 : k + 2][/math], следовательно, на этот слой можно добавить компаратор [math][k + 3 : k + 4][/math].

Значит, новые слои создадутся лишь благодаря компаратором [math][1:2][/math] и [math][2:3][/math], поэтому число слоёв в новой сети составит [math]S(n+1) = 2n - 3 + 1 = 2n - 1 = 2(n + 1) - 3[/math], что удовлетворяет нашему соотношению.
[math]\triangleleft[/math]

Сортирующая сеть для [math] n = 6 [/math]:

Parralelsort.png

Сортировка выбором[править]

Сеть для сортировки выбором выглядит иначе. При переходе к сети с [math] n + 1 [/math] входами, добавляется [math] n [/math] компараторов: [math] [0:1],[0:2]\dots[0:n] [/math], .

Choosesortparralel2.png

Утверждение:
В результирующей сети будет [math]2n - 3[/math] слоев, где [math] n [/math] — количество входов.
[math]\triangleright[/math]

Определим операцию вложения компаратора [math] [i:j] [/math] в компаратор [math] [t:s] [/math] : разместим компаратор [math] [i:j] [/math] и [math] [t:s] [/math] на одном слое, так, что [math] t \lt i \lt j \lt s [/math].

Теперь воспользуемся принципом математической индукции.

База индукции:

[math] n = 2 [/math]. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется.

Шаг индукции:

Пусть [math] S(n) [/math] — количество слоев в сети сортировки с [math] n [/math] входами.

При переходе от сортирующей сети с [math]n[/math] входами к сети с [math]n + 1[/math] входами, добавляем [math] n [/math] компараторов [math]\left( [0:1] \dots [0:n]\right) [/math]. Заметим, что в [math] n - 2 [/math] добавленных компаратора можно вложить [math] n - 2 [/math] компараторов из предыдущей сети, так, вкладывая один компаратор в другой, образуется новый слой, т.е. количество слоев не изменяется. Тогда останется два компаратора: [math][0:1], [0:2] [/math] в которые ничего нельзя вложить, т.е. количество слоев изменяется на [math] 2 = S(n + 1) - S(n) [/math].

Тогда наш переход выполняется и формула верна. Что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Пример правильной и ошибочной сети для [math] n = 4 [/math]. Если перенести свободные компараторы и слить их в один слой, то можно уменьшить количество слоев, но при этом сеть перестает быть сортирующей (при [math] n = 4 [/math] ошибка будет возникать на последовательности [math] [0,1,0,0] [/math]).

MyRis.jpg

См.также[править]

Источники информации[править]

  • Дональд Э. Кнут. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и Поиск. стр. 238— ISBN 0-201-89685-0
  • Кормен, Томас Х.,Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 27. Сортирующие сети // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — С. 799 - 822. — ISBN 5-8459-0857-4.
  • Википедия — Сети сортировки