Сортирующие сети для квадратичных сортировок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
Рассмотрим модели [[Сортирующие сети|сортирующих сетей]] для квадратичных сортировок.  
 
Рассмотрим модели [[Сортирующие сети|сортирующих сетей]] для квадратичных сортировок.  
  

Текущая версия на 19:19, 4 сентября 2022

Рассмотрим модели сортирующих сетей для квадратичных сортировок.

Сортирующие сети с последовательной сортировкой

На один слой будем устанавливать только один компаратор. Все последующие сети получаются простым моделированием соответствующих сортировок.

Сортировка пузырьком Сортировка вставками Сортировка выбором
Bubblesort.png Insertsort.png Choosesort.png

Сортирующие сети с параллельной сортировкой

На один слой устанавливается несколько компараторов.

Сортировка пузырьком и вставками

Заметим, что если сжать последовательные сортирующие сети пузырьком и вставками, то результат будет одним и тем же. Это видно из симметрии расположения компараторов на картинках выше.

Утверждение:
В результирующей сети будет [math](2n - 3)[/math] слоев, где [math]n[/math] — количество входов.
[math]\triangleright[/math]

Докажем данное утверждение по принципу математической индукции.

База индукции:

При [math] n = 2 [/math]. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется.

Шаг индукции:

Пусть [math] S(n) = 2n - 3 [/math] — количество слоев в сети сортировки.

При переходе от сортирующей сети с [math]n[/math] входами к сети с [math]n + 1[/math] входами, добавляем [math] n [/math] дополнительных компараторов ([math][1:2],[2:3]\dots[n:n + 1][/math] или [math][n + 1:n],[n:n + 1]\dots[1:2][/math], т.к. возможны две стратегии добавления; отсюда, кстати, тоже видна эквивалентность схем для обоих сортировок). Будем также поддерживать сортирующую сеть в виде "треугольной" сети. Таким образом компараторы [math][i:i+1],\ i \geqslant 3[/math] можно расположить в существующих слоях над самым верхним компаратором в соответствующем слое. То есть в сети с [math] n [/math] входами был слой с единственным компаратором [math][1:2][/math], поэтому над ним можно разместить компаратор [math][3 : 4][/math], на [math][2:3][/math][math][4:5][/math]. Затем на следующем слое будет уже два компаратора: [math][3 : 4][/math] над [math][1:2][/math], поэтому сверху можно добавить [math] [5: 6][/math]. В общем виде, на слое с номером [math] k \geqslant 0 [/math] с конца (до середины треугольника), будет [math]\left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor + 1[/math] компараторов, последним из которых является [math][k + 1 : k + 2][/math], следовательно, на этот слой можно добавить компаратор [math][k + 3 : k + 4][/math].

Значит, новые слои создадутся лишь благодаря компаратором [math][1:2][/math] и [math][2:3][/math], поэтому число слоёв в новой сети составит [math]S(n+1) = 2n - 3 + 1 = 2n - 1 = 2(n + 1) - 3[/math], что удовлетворяет нашему соотношению.
[math]\triangleleft[/math]

Сортирующая сеть для [math] n = 6 [/math]:

Parralelsort.png

Сортировка выбором

Сеть для сортировки выбором выглядит иначе. При переходе к сети с [math] n + 1 [/math] входами, добавляется [math] n [/math] компараторов: [math] [0:1],[0:2]\dots[0:n] [/math], .

Choosesortparralel2.png

Утверждение:
В результирующей сети будет [math]2n - 3[/math] слоев, где [math] n [/math] — количество входов.
[math]\triangleright[/math]

Определим операцию вложения компаратора [math] [i:j] [/math] в компаратор [math] [t:s] [/math] : разместим компаратор [math] [i:j] [/math] и [math] [t:s] [/math] на одном слое, так, что [math] t \lt i \lt j \lt s [/math].

Теперь воспользуемся принципом математической индукции.

База индукции:

[math] n = 2 [/math]. В сети всего два входа, на которых располагается один компаратор, тем самым наше предположение выполняется.

Шаг индукции:

Пусть [math] S(n) [/math] — количество слоев в сети сортировки с [math] n [/math] входами.

При переходе от сортирующей сети с [math]n[/math] входами к сети с [math]n + 1[/math] входами, добавляем [math] n [/math] компараторов [math]\left( [0:1] \dots [0:n]\right) [/math]. Заметим, что в [math] n - 2 [/math] добавленных компаратора можно вложить [math] n - 2 [/math] компараторов из предыдущей сети, так, вкладывая один компаратор в другой, образуется новый слой, т.е. количество слоев не изменяется. Тогда останется два компаратора: [math][0:1], [0:2] [/math] в которые ничего нельзя вложить, т.е. количество слоев изменяется на [math] 2 = S(n + 1) - S(n) [/math].

Тогда наш переход выполняется и формула верна. Что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Пример правильной и ошибочной сети для [math] n = 4 [/math]. Если перенести свободные компараторы и слить их в один слой, то можно уменьшить количество слоев, но при этом сеть перестает быть сортирующей (при [math] n = 4 [/math] ошибка будет возникать на последовательности [math] [0,1,0,0] [/math]).

MyRis.jpg

См.также

Источники информации

  • Дональд Э. Кнут. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и Поиск. стр. 238— ISBN 0-201-89685-0
  • Кормен, Томас Х.,Рональд Л., Штайн, Клифорд. Глава 27. Сортирующие сети // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e издание. — М.: «Вильямс», 2005. — С. 799 - 822. — ISBN 5-8459-0857-4.
  • Википедия — Сети сортировки