Изменения

При переходе от сортирующей сети с <tex>n</tex> входами к сети с <tex>n + 1</tex> входами, добавляем <tex> n </tex> дополнительных компараторов (<tex>[1:2],[2:3]\dots[n - 1:n+ 1]</tex> или <tex>[n - + 1:n],[n - 2:n - + 1]\dots[1:2]</tex>, т.к. возможны две стратегии добавления). В полученной "треугольной" сети можно заметить, что <tex>n - 1</tex> компаратор входят в уже существующие слои (<tex>[2:3],[3:4]\dots[n - 1:n+ 1] </tex> или <tex>[n - 1:n+ 1],[n - 21:n - 32]\dots[2:3]</tex>).т.е. на каждом четном слое самым верхним компаратором будет <tex> [2:3] </tex>, а на нечетном <tex>[1:2]</tex>, но тогда один компаратор из предыдущей сортирующий сети и один из добавленных не вносят вклад в количество слоев. Тогда видно, что количество слоев увеличилось на <tex> 2 = S(n + 1) - S(n) </tex>, т.е. наш переход выполняется и наша формула верна. Что и требовалось доказать.

При переходе от сортирующей сети с <tex>n</tex> входами к сети с <tex>n + 1</tex> входами, добавляем <tex> n </tex> компараторов <tex>\left( [0:1] \dots [0:n]\right) </tex>. Заметим, что в <tex> n - 2 </tex> добавленных компаратора можно вложить <tex> n - 2 </tex> компараторов из предыдущей сети, так, вкладывая один компаратор в другой, образуется новый слой, т.е. количество слоев не изменяется. Тогда останется два компаратора: <tex>[0:1], [0:2] </tex> в которые ничего нельзя вложить, т.е. количество слоев изменяется на <tex> 2 = S(n + 1) - S(n) </tex>. Если перенести свободные компараторы и слить их в один слой, то можно уменьшить количество слоев, но при этом сеть перестает быть сортирующей (при <tex> n = 4 </tex> ошибка будет возникать на последовательности <tex> [0,1,0,0] </tex>).

Тогда наш переход выполняется и наша формула верна. Что и требовалось доказать.

Пример правильной и ошибочной сети для <tex> n = 4 </tex> . Если перенести свободные компараторы и слить их в один слой, то можно уменьшить количество слоев, но при этом сеть перестает быть сортирующей (при <tex> n = 4 </tex> ошибка будет возникать на последовательности <tex> [0,1,0,0] </tex>).