Изменения

Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = RR_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.

{{УтверждениеТеорема|about=о резольвентном множестве

Пусть <tex>\lambda_0 \in \rho(A)</tex>, тогда существует <tex>\exists R_{\lambda_0}</tex>.

Нужное нам условие выполняется для всех , если <tex>|\lambda- \lambda_0| </tex> из шара <tex>\frac1{\|R_{\lambda_0}\|}</tex>, таким образом, любая точка <tex>\lambda_0</tex> множества <tex>\rho(A)</tex> входит в него вместе с некоторой окрестностью.

<tex>r_\sigma(A) = \inf\limits_{n \in \mathbb N} \sqrt[n]{\|A^n\|^n}</tex> {{---}} спектральный радиус оператора.

<tex>r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|^n}</tex>

По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: r \le \sqrt[n]{\|A^{n_0}\|^n{\frac{1}{n_0}} < r + \varepsilon</tex>. Любое <tex> n > n_0</tex> представим как <tex>n = p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>q_n = 0, 1, \ldots, n_0 - 1</tex>.

Таким образом, <tex>\forall n > n_0, |A^n \| = \|A^{p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>}\| \le \|A^{p_n n_0}\| \|A^{q_n = 0, 1, } \|\le \ldots, |A^{n_0 - 1}\|^{p_n} \|A\|^{q_n}</tex>.

Значит, <tex>\sqrt[n]{\|A^n\|}^{\frac{1}{n} = } \sqrt[p_n n_0 + q_n]le {\|A\|^n{n_0}</tex>, <tex>\|A\|}^n {\le \|A^frac{p_n n_0}\| \|A\|^{q_nn}} \le {\|A^n_0\|}^p_0 {\|A\|^frac{q_n}{n}}</tex>.

Значит, Рассмотрим <tex>\sqrt[n]{\|A^{n_0}\|}^{\frac{p_n}{n} } = {\le |A^{n_0}\sqrt[|}^{\frac{np_n}{p_0p_n n_0 + q_n}]} \le {\|A\|^{n_0}\|} \sqrt[^{\frac{np_n}{q_np_n n_0}}]{= \|A^{n_0}\|^{\frac{1}{n_0}} < r+ \varepsilon</tex>.

Здесь Теперь рассмотрим <tex>\sqrt[\frac{nq_n}{p_0n}]{\|Ale \|^frac{n_0- 1}{n} = \sqrtxrightarrow[n \to \fracinfty]{p_n n_0 + q_n}{p_0}]{0</tex>, значит, <tex>\|A\|^{n_0}} \le \sqrt[\frac{p_n n_0q_n}{p_0}]{\|A\|^{n_0n}} = \sqrt[n_0]{\|A\|^{n_0}} < r_\sigma + \varepsilonto 1</tex>, а то есть, <tex>\sqrt[forall \varepsilon > 0 \exists n \frac{forall n' > n}{q_n}]{: \|A\|} \le \sqrt[^{\frac{q_{n'}}{n_0 - 1n'}]{\|A\|} \to le 1 + \|A\|^0 = 1varepsilon</tex>.

ОтсюдаТогда, с одной стороны, по определению <tex>r</tex> как инфимума, для всех <tex>n</tex>: <tex>r \le \sqrt[n]{\|A^n\|^{\frac{1}{n} r + }</tex>, но с другой, по только что показанному, для произвольного <tex>\varepsilon</tex>, начиная с какого-то <tex>n</tex> можно сказать, что <tex>\lim|A^n\|^{\limits_frac{1}{n }} \to le (r + \infty} varepsilon) (1 + \sqrt[n]{varepsilon)</tex>. Тогда из этого получаем, что <tex>\|A^n\|^{\frac{1}{n}} \to r</tex>, что и требовалось доказать.

<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| < \le r_\sigma(A)\}</tex>

Проверим, при каких <tex>r_A - \sigma</tex> будет сходиться ряд <tex>lambda I = - \sumlambda (I - \limits_frac{n=01}^{\inftylambda} (\frac1\lambda A)^n</tex>. В этом случае оператор , найдем, при каких <tex>A - \lambda </tex> у <tex>I = -\lambda (I - \frac1frac{1}{\lambda } A)</tex>, очевидно, будет непрерывно обратиместь обратимый.

Если сходится <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_frac{n=01}^{\inftylambda} |\frac1\lambda|^n \|A\|)^n</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если то он и будет совпадать с <tex>(I - \sqrt[n]frac{1}{|\frac1\lambda|^n \|} A\|)^n} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A\|^n-1} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.(показывали это в [[Теорема_Банаха_об_обратном_операторе | теореме Банаха для I - C]])

То естьТак как пространство банахово, операторный ряд сходится если сходится соответствующий рад из норм: <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A^n\|</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A^n\|} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A^n\|} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>. Таким образом, при <tex>r_\sigma < |\lambda|</tex>, обратный оператор к <tex>I - \frac{1}{\lambda}A</tex> существует, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>. Значит, и спектр полностью содержится во множестве, в котором <tex>r_\sigma(A) \subset V_{r_ge |\sigma}(0)lambda|</tex>.

{{ТеоремаУтверждение|about=аналитичность резольвенты в резольвентном множестве|statement=<tex>R_\|A\| lambda</tex> как функция из комплексного числа в ограниченный оператор, аналитична в < +tex>\infty \Rightarrow \sigmarho(A) \ne \varnothing</tex>и в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости.

Докажем, что оператор пусть <tex>R_\lambda</tex> аналитичен в <tex>lambda_0 \in \rho(A)</tex> и в <tex>\infty</tex>.:

<tex>A - \lambda I = A = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)(A - \lambda_0 I)R_{\lambda_0} </tex><tex> = (A - \lambda_0 I)(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0})</tex>— если взять достаточно малое <tex>\lambda - \lambda_0</tex>, можно так обратить.

<tex>(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0}) ^ {-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n</tex> {{---}} сходится при <tex>|\lambda - \lambda_0| \approx 0</tex>.

<tex>(A - \lambda I) ^ {-1} = R_{\lambda_0} \sum\limits_{TODO|tn=вот здесь что0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda -то подозрительное\lambda_0)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^{n+1}(\lambda - \lambda_0)^n</tex>, следовательно, <tex>(A - \lambda I)^{-1}</tex> аналитична.

Также, так как <tex>A - \lambda I = -\lambda (A I - \lambda_0 Ifrac1\lambda A) </tex>, то при <tex>|\sumlambda| \limits_{n=0}^{approx \infty} </tex>, <tex>R_{\lambda_0}^n (\lambda = - \lambda_0)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_\frac{A^n}{\lambda_0}lambda^{n-1} (}</tex>, и <tex>R_\lambda - \lambda_0)^n</tex>, следовательно, аналитична при <tex>(A - \lambda I)^{-1}= \infty</tex> аналитична.{{TODO|t=WAT}}

Также, так как {{Теорема|about=непустота спектра ограниченного оператора|statement=<tex>\|A - \lambda I = -| < +\infty \implies \lambda sigma(I - A) \frac1ne \lambda Aemptyset</tex>|proof=Если <tex>L(X)</tex>, то при (пространство линейных ограниченных операторов <tex>|\lambda| \approx A: X \inftyto X</tex>) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>R_\lambda = -\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{A_n\lambda^{n-1}}</tex>, и <tex>R_lambda</tex> аналитична при <tex>\lambda = \infty</tex>их свойства копируют свойства обычных степенных рядов. Теперь допустим, что <tex>\|A\| < +\infty</tex> и Воспользуемся аналитичностью резольвенты: если <tex>\sigma(A) = \varnothingemptyset</tex>. Тогда , то <tex>\rho(A) = \mathbb {C}</tex>, то есть в пределах любого круга и в бесконечно удаленой точке резольвента ограничена, тогда по [http://en.wikipedia. Для любого <tex>r<org/wiki/tex> оператор Liouville%27s_theorem_(complex_analysis) теореме Лиувилля] (если на всей комплексной плоскости функция <tex>R_\lambdaf(z)</tex> ограничен равномерно ограничена, она тождественно равна постоянной) ({{TODO|t=требуется ограниченность всех точек в совокупности, непонятно почему это выполняется. Еще она формулируется для фунции в C, а не в шарах <tex>0 < z < r<операторы, что меня смущает. Вот [http://www.mathforum.ru/forum/read/1/572/ тут] или [http:/tex> и <tex>z > r</tex>planetmath. Но org/spectrumisanonemptycompactset тут], возможно, есть объяснение}}), <tex>R_\lambda</tex> аналитичен на всей комплексной плоскости, значит, по теореме Лиувилля— константная функция, но тогда бы все <tex>R_A - \lambdaI</tex> были бы одинаковы, чего, очевидно, быть не может, то есть константа, пришли к противоречиюполучили противоречие и спектр непуст. {{TODO|t=НЕТ, НЕ ПРИШЛИ ЕЩЕ!}}