Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = RR_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, и называется '''резольвентным множеством''', дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
}}
{{УтверждениеТеорема|about=замкнутость спектрао резольвентном множестве
|statement=
<tex>\rho(A)</tex> {{---}} открытое множество в <tex>\mathbb C</tex>;
<tex>r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex>
|proof=
Таким образом, <tex>\forall n > n_0, |A^n \| = \|A^{p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>}\| \le \|A^{p_n n_0}\| \|A^{q_n = 0, 1, } \|\le \ldots, |A^{n_0 - 1}\|^{p_n} \|A\|^{q_n}</tex>.
Значит, <tex>\sqrt[n]{\|A^n\|} = ^{\sqrt[p_n n_0 + q_n]frac{1}{\|A^n\|}</tex>, <tex>\|A^n\| } \le {\|A^{p_n n_0}\| }^{\|A^frac{p_n}{q_nn}} \|\le {\|A^n_0\|}^p_0 {\|A^frac{q_n}\|{n}}</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| < \le r_\sigma(A)\}</tex>
|proof=
Так как пространство банахово, операторный ряд сходится если сходится соответствующий рад из норм: <tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A^n\|^n</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A^n\|^n} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A^n\|^n} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.
}}
{{ТеоремаУтверждение|about=аналитичность резольвенты в резольвентном множестве|statement=<tex>R_\|A\| lambda</tex> как функция из комплексного числа в ограниченный оператор, аналитична в < +tex>\infty \Rightarrow \sigmarho(A) \ne \varnothing</tex>и в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости.
|proof=
<tex>A - \lambda I = A = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)(A - \lambda_0 I)R_{\lambda_0} </tex><tex> = (A - \lambda_0 I)(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0})</tex>— если взять достаточно малое <tex>\lambda - \lambda_0</tex>, можно так обратить.
<tex>(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0}) ^ {-1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n</tex> {{---}} сходится при <tex>|\lambda - \lambda_0| \approx 0</tex>.
<tex>(A - \lambda I) ^ {-1} = R_{\lambda_0} \sum\limits_{TODO|tn=вот здесь что0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda -то подозрительное\lambda_0)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^{n+1}(\lambda - \lambda_0)^n</tex>, следовательно, <tex>(A - \lambda I)^{-1}</tex> аналитична.
Также, так как <tex>A - \lambda I = -\lambda (A I - \lambda_0 Ifrac1\lambda A) </tex>, то при <tex>|\sumlambda| \limits_{n=0}^{approx \infty} </tex>, <tex>R_{\lambda_0}^n (\lambda = - \lambda_0)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_\frac{A^n}{\lambda_0}lambda^{n-1} (}</tex>, и <tex>R_\lambda - \lambda_0)^n</tex>, следовательно, аналитична при <tex>(A - \lambda I)^{-1}= \infty</tex> аналитична.{{TODO|t=WAT}}
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]