Изменения

__TOC__ Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]]. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Крома (, 2-КНФ)<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]</ref>''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких ровно двух литералов, количество которых не превышает двух.}}

<tex>(x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... \ldots </tex> === Разрешимать булевой формулы, заданой в форме Крома ===

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=F(z_1, ...\ldots, z_n)=1 \Rightarrow</tex> <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ...\ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>

== КНФ в форме Хорна ==

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'')'''в форме Хорна<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause Wikipedia {{---}} Horn clause]</ref>''' (англ. ''Horn clause'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}

<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n)\wedge ...\ldots</tex> Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.

Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.

|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна , можно удовлетворить.

*'''Шаг 1. Одиночное вхождение переменных.''' Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы <tex> x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) </tex> такой переменной является <tex>x</tex>. *# Присутствуют одиночно стоящие переменные.*#:Присвоим всем таким переменным значение <tex> 1 </tex>, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex> иначе, так как в конъюнкции они должны дать <tex>1</tex>. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в <tex> 0 </tex>, то решения не существует. *# Отсутствуют одиночно стоящие переменные. *#:Всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение <tex>0</tex> мы получим <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции. В итоге мы получим выражение вида: <tex>1\wedge 1 \wedge \ldots \wedge 1</tex>, что в результате даст нам <tex> 1</tex>. В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно.

Если *'''Шаг 2.''' *:Опустим одиночно стоящих переменных стоящие переменные и скобки, в данном выражении нет, то всем переменным надо присвоить которых значение стало равным <tex>1</tex>. Перейдём к <tex> 0 1</tex> и булева формула разрешитсяшагу алгоритма. Это следует По определению формы Хорна, в каждой из тогоскобок, где мы опустили переменную, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицаниемне больше <tex>1</tex> переменной без отрицания. Либо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, подставив в нее значение т.е. при подстановке <tex>0</tex> мы получим станет равна <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции, либо мы рассмотрим переменную без отрицания как отдельно стоящую переменную.В итоге мы получим выражение вида: Значит <tex>1\wedge 1 \wedge ... \wedge 1</tex>шаг алгоритма выполнится верно. Будем проделывать алгоритм, что в результате даст нам начиная сначала, пока <tex> 1</tex>. В таком случае дальнейшие шаги выполнять шаг не нужнонайдёт ответ.

*'''Шаг 2.''' Идем по скобкам и выписываем все встречающиеся нам переменные, кроме тех, с которыми мы работали на предыдущем шаге. Если переменная всегда входит без отрицаний, присваиваем ей значение Обозначим за <tex>1N</tex>, если переменная всегда входит с отрицаниями, присваиваем <tex>0</tex>. На данном шаге никакая скобка не может обратиться число вхождений переменных в <tex>0</tex>формулу. *'''Шаг 3.''' На данном шаге остались переменныеИтерация состоит из шагов, не являющиеся одиночно стоящими и входящие в формулу как с отрицаниями, так и без них. Рассмотрим скобки, в каждый из которых значение всех рассмотренных ранее переменных или их отрицаний уже равны выполняется за <tex> 0 </tex> O(это возможно только в случае, когда в скобке присутствуют одиночно стоящие переменные из первого шага, или их отрицанияN). Рассматриваемые на данном шаге переменные в такой скобке могут входить с отрицанием и без него. Если рассматриваемая переменная входит без отрицания, то присвоим ей значение <tex> 1 </tex>, иначе, присвоим ей <tex> 0 </tex>. Если после этого какая-либо скобка обратилась в Всего итераций будет не больше <tex> 0 N</tex>, так как если первый шаг не завершил алгоритм, то решения нетуменьшил размер формулы на одно вхождение. Итого, иначе формула разрешима. *Время работы асимптотика алгоритма:Будем считать, что длиной формулы является количество переменных, входящих в нее. Обозначим ее за составляет <tex> n O(N^2)</tex>.В каждом шаге мы проходимся по всем переменным и присваиваем некоторым из них какое-то значение. Отсюда следует, что время работы данного алгоритма линейное, относительно количества входящих переменных.

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ...\ldots, x_n \wedge y_n)</tex>

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause| Conjunctive_normal_form Wikipedia {{---}} Horn clauseCNF]*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability| Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]