Изменения

__TOC__ Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]]. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Крома (, 2-КНФ)<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]</ref>''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких ровно двух литералов, количество которых не превышает двух.}}

<tex>(x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... \ldots </tex> === Разрешимать булевой формулы, заданой в форме Крома ===

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=F(z_1, ...\ldots, z_n)=1 \Rightarrow</tex> <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ...\ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>

== КНФ в форме Хорна ==

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'')'''в форме Хорна<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause Wikipedia {{---}} Horn clause]</ref>''' (англ. ''Horn clause'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}

<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n)\wedge ...\ldots</tex> Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.

Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.

|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна , можно удовлетворить.

Если *'''Шаг 1. Одиночное вхождение переменных.''' Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы <tex> x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) </tex> такой переменной является <tex>x</tex>. *# Присутствуют одиночно стоящих переменных стоящие переменные.*#:Присвоим всем таким переменным значение <tex> 1 </tex>, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex> иначе, так как в конъюнкции они должны дать <tex>1</tex>. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в данном выражении нет<tex> 0 </tex>, то всем решения не существует. *# Отсутствуют одиночно стоящие переменные. *#:Всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение <tex>0</tex> мы получим <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции.В итоге мы получим выражение вида: <tex>1\wedge 1 \wedge ... \ldots \wedge 1</tex>, что в результате даст нам <tex> 1</tex>. В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно.

*'''Шаг 2.''' Идем по скобкам *:Опустим одиночно стоящие переменные и выписываем все встречающиеся нам переменныескобки, кроме тех, с которыми мы работали на предыдущем шаге. Если переменная всегда входит без отрицаний, присваиваем ей в которых значение стало равным <tex>1</tex>, если переменная всегда входит с отрицаниями, присваиваем . Перейдём к <tex>01</tex>шагу алгоритма. На данном шаге никакая скобка По определению формы Хорна, в каждой из скобок, где мы опустили переменную, не может обратиться в больше <tex>01</tex>переменной без отрицания. *'''Шаг 3.''' Опустим одиночно стоящие переменные и Либо какая-то из переменных внутри скобкибудет иметь отрицание, в которых значение стало равным т.е. при подстановке <tex>0</tex> станет равна <tex>1</tex>, так либо мы рассмотрим переменную без отрицания как они уже не влияют на существование ответаотдельно стоящую переменную. Проделаем с полученным выражением алгоритм, начиная с Значит <tex>1</tex> шагашаг алгоритма выполнится верно. Будем проделывать алгоритм, начиная сначала, пока <tex>1</tex> шаг не найдёт ответ.

*Время работы алгоритма:Обозначим за <tex>N</tex> число вхождений переменных в формулу.Так как функция Итерация состоит из простых выраженийшагов, мы сможем её разбить на дерево каждый из которых выполняется за линейное время<tex>O(N)</tex>.Будем считатьВсего итераций будет не больше <tex>N</tex>, так как если первый шаг не завершил алгоритм, что длиной то уменьшил размер формулы является количество переменныхна одно вхождение. Итого, входящих в нее. Обозначим ее за асимптотика алгоритма составляет <tex> n O(N^2)</tex>.В каждом шаге алгоритма мы обрабатываем очередную одиночную переменную за линейное время. Отсюда следует, что время работы линейное, относительно количества входящих переменных.

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ...\ldots, x_n \wedge y_n)</tex>

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause| Conjunctive_normal_form Wikipedia {{---}} Horn clauseCNF]*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability| Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]