Изменения

__TOC__ Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]]. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Крома (, 2-КНФ)<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]</ref>''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких ровно двух литералов, количество которых не превышает двух.}}

<tex>(x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... \ldots </tex>

|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функциюформулу, заданную в форме Хорна Крома, можно удовлетворить.}}

|statement=Функцию <tex>\mathbb{F}</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие : <tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=F(z_1, ...\ldots, z_n)=1 \Rightarrow</tex> <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ...\ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>

== КНФ в форме Хорна ==

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'')'''в форме Хорна<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause Wikipedia {{---}} Horn clause]</ref>''' (англ. ''Horn clause'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}

<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n)\wedge ...\ldots</tex> Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.

Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.

|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна , можно удовлетворить.

Функцию можно представить в любом виде. Например, можно использовать древовидную структуру. *'''Шаг 1. Одиночное вхождение переменных.''' Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы <tex> x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) </tex> такой переменной является <tex>x</tex>. *#Нашли одночно Присутствуют одиночно стоящие переменные.*#:Присвоим всем таким переменным значение <tex> 1 </tex>, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex> иначе, так как в конъюнкции они должны дать <tex>1</tex>. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в <tex> 0 </tex>, то решения не существует. *#Если Отсутствуют одиночно стоящих переменных в данном выражении нетстоящие переменные. *#: Всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение <tex>0</tex> мы получим <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции. В итоге мы получим выражение вида: <tex>1\wedge 1 \wedge ... \ldots \wedge 1</tex>, что в результате даст нам <tex> 1</tex>. В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно.

*'''Шаг 2.''' Идем по скобкам *:Опустим одиночно стоящие переменные и выписываем все встречающиеся нам переменныескобки, в которых значение стало равным <tex>1</tex>. Перейдём к <tex>1</tex> шагу алгоритма. По определению формы Хорна, кроме техв каждой из скобок, с которыми где мы работали на предыдущем шагеопустили переменную, не больше <tex>1</tex> переменной без отрицания. Если переменная всегда входит без отрицанийЛибо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, присваиваем ей значение т.е. при подстановке <tex>0</tex> станет равна <tex>1</tex>, если переменная всегда входит с отрицаниями, присваиваем либо мы рассмотрим переменную без отрицания как отдельно стоящую переменную. Значит <tex>01</tex>шаг алгоритма выполнится верно. На данном шаге никакая скобка не может обратиться в Будем проделывать алгоритм, начиная сначала, пока <tex>01</tex>шаг не найдёт ответ.

*'''Шаг 3.''' Опустим одиночно стоящие переменные и скобки, в которых значение стало равным 1. По определению формы Хорна, в каждой из скобок, где мы опустили переменную не больше Обозначим за <tex>1N</tex> переменной без отрицаниячисло вхождений переменных в формулу. Либо какая-то Итерация состоит из переменных внутри скобки будет иметь отрицаниешагов, т.е. при подстановке каждый из которых выполняется за <tex>0O(N)</tex> станет равна . Всего итераций будет не больше <tex>1N</tex>, либо мы рассмотрим переменную без отрицания так как отдельно стоящую переменную. Значит <tex>1</tex> если первый шаг алгоритма выполнится верно. Проделаем с полученным выражением не завершил алгоритм, начиная с <tex>1</tex> шага, пока <tex>1</tex> шаг не найдёт ответ. *Время работы алгоритма:Так как функция состоит из простых выражений, мы сможем её разбить то уменьшил размер формулы на дерево за линейное времяодно вхождение.Будем считатьИтого, что длиной формулы является количество переменных, входящих в нее. Обозначим ее за асимптотика алгоритма составляет <tex> n O(N^2)</tex>.В каждом шаге алгоритма мы обрабатываем очередную одиночную переменную за линейное время. Отсюда следует, что время работы линейное, относительно количества входящих переменных.

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ...\ldots, x_n \wedge y_n)</tex>

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause| Conjunctive_normal_form Wikipedia {{---}} Horn clauseCNF]*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability| Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]