Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Специальные формы КНФ

513 байт убрано, 22:19, 20 октября 2019
КНФ в форме Хорна
__TOC__ Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]]. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.
== КНФ в форме Крома ==
{{Определение
|definition=
'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Крома (, 2-КНФ)<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]</ref>''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких ровно двух литералов, количество которых не превышает двух.}}
'''Пример :'''
<tex>(x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... \ldots </tex>
{{Утверждение
|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что формулу, заданную в форме Крома, можно удовлетворить.}}|proof= {{main|2SAT}}}}
{{Утверждение
|statement=Функцию <tex>\mathbb{F}</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие : <tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=F(z_1, ...\ldots, z_n)=1 \Rightarrow</tex> <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ...\ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>
}}
== КНФ в форме Хорна ==
{{Определение
|definition=
'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'')'''в форме Хорна<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause Wikipedia {{---}} Horn clause]</ref>''' (англ. ''Horn clause'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}
'''Пример:'''
<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n)\wedge ...\ldots</tex>
Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>. Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Хорна. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта Хорна.
{{Утверждение
*#:Присвоим всем таким переменным значение <tex> 1 </tex>, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex> иначе, так как в конъюнкции они должны дать <tex>1</tex>. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в <tex> 0 </tex>, то решения не существует.
*# Отсутствуют одиночно стоящие переменные.
*#:Всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение <tex>0</tex> мы получим <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции. В итоге мы получим выражение вида: <tex>1\wedge 1 \wedge ... \ldots \wedge 1</tex>, что в результате даст нам <tex> 1</tex>. В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно.
*'''Шаг 2.'''
*: Идем по скобкам Опустим одиночно стоящие переменные и выписываем все встречающиеся нам переменныескобки, в которых значение стало равным <tex>1</tex>. Перейдём к <tex>1</tex> шагу алгоритма. По определению формы Хорна, кроме техв каждой из скобок, с которыми где мы работали на предыдущем шагеопустили переменную, не больше <tex>1</tex> переменной без отрицания. Если переменная всегда входит без отрицанийЛибо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, присваиваем ей значение т.е. при подстановке <tex>0</tex> станет равна <tex>1</tex>, если переменная всегда входит с отрицаниями, присваиваем либо мы рассмотрим переменную без отрицания как отдельно стоящую переменную. Значит <tex>01</tex>шаг алгоритма выполнится верно. На данном шаге никакая скобка не может обратиться в Будем проделывать алгоритм, начиная сначала, пока <tex>01</tex>шаг не найдёт ответ.
*'''Шаг 3.''' *:Опустим одиночно стоящие переменные и скобки, в которых значение стало равным <tex>1</tex>. Перейдём к <tex>1</tex> шагу алгоритма. По определению формы Хорна, в каждой из скобок, где мы опустили переменную не больше <tex>1</tex> переменной без отрицания. Либо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, т.е. при подстановке <tex>0</tex> станет равна <tex>1</tex>, либо мы рассмотрим переменную без отрицания как отдельно стоящую переменную. Значит <tex>1</tex> шаг алгоритма выполнится верно. Будем проделывать алгоритм, начиная сначала, пока <tex>1</tex> шаг не найдёт ответ. Обозначим за <tex>N</tex> число вхождений переменных, входящих в формулу.Количество повторений алгоритма с <tex>1</tex> шага зависит от того, сколько у нас в формуле есть различных переменных линейноИтерация состоит из шагов, т.к. за 1 повторение алгоритма мы присваиваем как минимум одной переменной значение и начинаем проделывать алгоритм для оставшихся переменных.Каждый каждый из шагов которых выполняется за время <tex>O(N)</tex>, а подстановок значений в переменные формулы может быть . Всего итераций будет не больше <tex>N</tex> раз, ттак как если первый шаг не завершил алгоритм, то уменьшил размер формулы на одно вхождение.к. всего переменных <tex>N</tex>. Получается сложность Итого, асимптотика алгоритма составляет <tex>O(N^2)</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ...\ldots, x_n \wedge y_n)</tex>
}}
* [[СКНФ]]
* [[2SAT]]
* [[ДНФ]]
==Примечания==
==Источники информации==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause| Conjunctive_normal_form Wikipedia {{---}} Horn clauseCNF]*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability| Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Булевы функции ]]
Анонимный участник

Навигация