Изменения

__TOC__ Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]]. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Крома (, 2-КНФ)<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]</ref>''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких ровно двух литералов, количество которых не превышает двух.}}

<tex>(x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... \ldots </tex>

|statement=Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функциюформулу, заданную в форме Крома , можно удовлетворить (т.е КНФ в форме Крома не является тождественно равной <tex>0</tex>).}}{{main|proof=Данный алгоритм подробно описан в статье о выполнимости булевых формул, заданных в форме Крома: [[2SAT]].}} 

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=F(z_1, ...\ldots, z_n)=1 \Rightarrow</tex> <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ...\ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>

== КНФ в форме Хорна ==

'''Конъюнктивная нормальная форма '''(КНФангл. ''conjunctive normal form, CNF'')'''в форме Хорна<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause Wikipedia {{---}} Horn clause]</ref>''' (англ. ''Horn clause'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}

<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \ldots \vee \overline x_n)\wedge ...\ldots</tex>

Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>. Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Хорна. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме дизьюнкта Хорна.

|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна , можно удовлетворить.

*Время работы алгоритма'''Шаг 1. Одиночное вхождение переменных.''' Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы <tex> x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) </tex> такой переменной является <tex>x</tex>. *# Присутствуют одиночно стоящие переменные.*#:Будем считатьПрисвоим всем таким переменным значение <tex> 1 </tex>, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex> иначе, так как в конъюнкции они должны дать <tex>1</tex>. Заметим, что длина формулы если какая- количество символов, входящих либо скобка после этого обратилась в данную формулу. Обозначим ее за <tex> n 0 </tex>, то решения не существует.*'''Шаг 1.''' На данном шаге мы делаем один проход по формуле, ища # Отсутствуют одиночно стоящие переменные. Следовательно*#:Всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешится. Это следует из того, время работы первого шага что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение <tex>0</tex> (O(n)) мы получим <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции. В итоге мы получим выражение вида: <tex>1\wedge 1 \wedge \ldots \wedge 1</tex>, что в результате даст нам <tex> 1</tex>.В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно. *'''Шаг 2.''' На данном шаге *:Опустим одиночно стоящие переменные и скобки, в которых значение стало равным <tex>1</tex>. Перейдём к <tex>1</tex> шагу алгоритма. По определению формы Хорна, в каждой из скобок, где мы за линейное время мы проходим по формуле и помечаем все переменныеопустили переменную, не больше <tex>1</tex> переменной без отрицания. Либо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, т.е. при подстановке <tex>0</tex> станет равна <tex>1</tex>, которые входят либо только мы рассмотрим переменную без отрицаний либо только с отрицаниями и после этого присваиваем им нужные значенияотрицания как отдельно стоящую переменную. Значит <tex>1</tex> шаг алгоритма выполнится верно. Время работы данного шага Будем проделывать алгоритм, начиная сначала, пока <tex> (O(n)) 1</tex>шаг не найдёт ответ.*'''Шаг 3Обозначим за <tex>N</tex> число вхождений переменных в формулу.''' На данном шаге мы также делаем один проход по формуле и присваиваем нужные значения оставшимся переменным. Время работы данного шага также Итерация состоит из шагов, каждый из которых выполняется за <tex> (O(n)N) </tex>.*Всего итераций будет не больше <tex>N</tex>, так как если первый шаг не завершил алгоритм, то уменьшил размер формулы на одно вхождение. Итого, время работы данного асимптотика алгоритма линейноесоставляет <tex>O(N^2)</tex>.

|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ...\ldots, x_n)=F(y_1, ...\ldots, y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, ...\ldots, x_n \wedge y_n)</tex>

*[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause| Conjunctive_normal_form Wikipedia {{---}} Horn clauseCNF]*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability| Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]