Специальные формы КНФ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(КНФ в форме Хорна)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 53 промежуточные версии 9 участников)
Строка 1: Строка 1:
Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Эти две формы интересны тем, что для них существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|NP-полной]].  
+
__TOC__
 +
 
 +
Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в [[Определение булевой функции#Представление булевых функций|конъюнктивной нормальной форме]], то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение <tex>1</tex>, в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [[Примеры NP-полных языков. Теорема Кука|<tex>\mathrm{NP}</tex>-полной]]. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.
  
 
== КНФ в форме Крома ==
 
== КНФ в форме Крома ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) в форме Крома (2-КНФ)''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию нескольких литералов, количество которых не превышает двух.}}
+
'''Конъюнктивная нормальная форма '''(англ. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Крома, 2-КНФ<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]</ref>''' (англ. ''2-CNF'') {{---}} конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию ровно двух литералов.}}
  
 
'''Пример :'''
 
'''Пример :'''
  
<tex>(x_1\vee\overline x_2)  \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge... </tex>
+
<tex>(x_1\vee\overline x_2)  \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge\ldots </tex>
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=[[2SAT]]
+
|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что формулу, заданную в форме Крома, можно удовлетворить.}}
}}
+
{{main|2SAT}}
 +
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ..., x_n)=F(y_1, ..., y_n)=F(z_1, ..., z_n)=1 \Rightarrow</tex>  <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, ..., \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>
+
|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Крома <tex> \iff </tex> выполнено следующее следствие : <tex> F(x_1, \ldots, x_n)=F(y_1, \ldots, y_n)=F(z_1, \ldots, z_n)=1 \Rightarrow</tex>  <tex>F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, \ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)</tex>
 
}}
 
}}
  
= КНФ в форме Хорна =
+
== КНФ в форме Хорна ==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)в форме Хорна''' (англ. ''Horn clause'')  {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}
+
'''Конъюнктивная нормальная форма '''(англ. ''conjunctive normal form, CNF'') '''в форме Хорна<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause Wikipedia {{---}} Horn clause]</ref>''' (англ. ''Horn clause'')  {{---}} это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.}}
  
 
'''Пример:'''
 
'''Пример:'''
  
<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee ... \vee \overline x_n ) \wedge (x_1  \vee \overline x_2  \vee ... \vee \overline x_n)\wedge ...</tex>
+
<tex> (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1  \vee \overline x_2  \vee \ldots \vee \overline x_n)\wedge \ldots</tex>
  
Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.
+
Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B7%D1%8A%D1%8E%D0%BD%D0%BA%D1%82_%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дизъюнкт Хорна]</ref>.
 
 
Любую формулу можно представить в виде КНФ в форме Хорна. Для этого формулу необходимо преобразовать в конъюнкцию элементарных дизъюнкций и далее каждую дизъюнкцию представить в форме  дизьюнкта Хорна.
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна можно удовлетворить.
+
|statement= Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна, можно удовлетворить.
 
|proof= Далее будет приведено доказательство, предлагающее алгоритм решения.
 
|proof= Далее будет приведено доказательство, предлагающее алгоритм решения.
*'''Шаг 1. Одиночное вхождение переменных'''
 
*Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы <tex> x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) </tex>  такой переменной является <tex>x</tex>. Присвоим всем таким переменным значение <tex> 1 </tex>, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex> иначе, так как в конъюнкции они должны дать <tex>1</tex>. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в <tex> 0 </tex>, то решения не существует.
 
* Если одиночно стоящих переменных в данном выражении нет, то всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение <tex>0</tex> мы получим <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции. Сделав так для каждой скобки, мы получим выражение вида: <tex>1\wedge 1 \wedge ... \wedge 1</tex>, что в конечном итоге даст нам <tex> 1</tex> В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно.
 
*'''Шаг 2.''' Идем по скобкам и выписываем все встречающиеся нам переменные, кроме тех, с которыми мы работали на предыдущем шаге. Если переменная всегда входит без отрицаний, присваиваем ей значение <tex>1</tex>, если переменная всегда входит с отрицаниями, присваиваем <tex>0</tex>. На данном шаге никакая скобка не может обратиться в <tex>0</tex>.
 
*'''Шаг 3.''' На данном шаге остались переменные, не являющиеся одиночно стоящими и входящие в формулу как с отрицаниями, так и без них. Рассмотрим скобки, в которых значение всех рассмотренных ранее переменных или их отрицаний уже равны <tex> 0 </tex> (это возможно только в случае, когда в скобке присутствуют одиночно стоящие переменные из первого шага, или их отрицания). Рассматриваемые на данном шаге переменные в такой скобке могут входить с отрицанием и без него. Если рассматриваемая переменная входит без отрицания, то присвоим ей значение <tex> 1 </tex>, иначе, присвоим ей <tex> 0 </tex>. Если после этого какая-либо скобка обратилась в <tex> 0 </tex>, то решения нет, иначе формула разрешима.
 
  
*Время работы алгоритма:
+
*'''Шаг 1. Одиночное вхождение переменных.''' Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы <tex> x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) </tex>  такой переменной является <tex>x</tex>.       
Будем считать, что длиной формулы является количество символов, входящих в нее. Обозначим ее за <tex> n </tex>.
+
*# Присутствуют одиночно стоящие переменные.
*'''Шаг 1.''' На данном шаге мы делаем один проход по формуле, ища одиночно стоящие переменные. Следовательно, время работы первого шага <tex> (O(n)) </tex>.
+
*#:Присвоим всем таким переменным значение <tex> 1 </tex>, если переменная входит без отрицания и <tex>0</tex> иначе, так как в конъюнкции они должны дать <tex>1</tex>. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в <tex> 0 </tex>, то решения не существует.  
*'''Шаг 2.''' На данном шаге мы за линейное время мы проходим по формуле и помечаем все переменные, которые входят либо только без отрицаний либо только с отрицаниями и после этого присваиваем им нужные значения. Время работы данного шага <tex> (O(n)) </tex>.
+
*# Отсутствуют одиночно стоящие переменные.  
*'''Шаг 3.''' На данном шаге мы также делаем один проход по формуле и присваиваем нужные значения оставшимся переменным. Время работы данного шага также <tex> (O(n)) </tex>.
+
*#:Всем переменным надо присвоить значение <tex> 0 </tex> и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение <tex>0</tex> мы получим <tex> 1</tex> в результате дизъюнкции. В итоге мы получим выражение вида: <tex>1\wedge 1 \wedge \ldots \wedge 1</tex>, что в результате даст нам <tex> 1</tex>. В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно.
*Итого, время работы данного алгоритма линейное.
+
 
 +
*'''Шаг 2.'''  
 +
*:Опустим одиночно стоящие переменные и скобки, в которых значение стало равным <tex>1</tex>. Перейдём к <tex>1</tex> шагу алгоритма. По определению формы Хорна, в каждой из скобок, где мы опустили переменную, не больше <tex>1</tex> переменной без отрицания. Либо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, т.е. при подстановке <tex>0</tex> станет равна <tex>1</tex>, либо мы рассмотрим переменную без отрицания как отдельно стоящую переменную. Значит <tex>1</tex> шаг алгоритма выполнится верно. Будем проделывать алгоритм, начиная сначала, пока <tex>1</tex> шаг не найдёт ответ.
 +
 
 +
Обозначим за <tex>N</tex> число вхождений переменных в формулу.
 +
Итерация состоит из шагов, каждый из которых выполняется за <tex>O(N)</tex>. Всего итераций будет не больше <tex>N</tex>, так как если первый шаг не завершил алгоритм, то уменьшил размер формулы на одно вхождение. Итого, асимптотика алгоритма составляет <tex>O(N^2)</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex>  \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, ..., x_n)=F(y_1, ..., y_n)=1  \Rightarrow  F(x_1 \wedge y_1, x_2  \wedge  y_2, ..., x_n \wedge y_n)</tex>
+
|statement=Функцию <tex>F</tex> можно задать в форме Хорна <tex>  \iff </tex> выполнено следующее следствие:<tex> F(x_1, \ldots, x_n)=F(y_1, \ldots, y_n)=1  \Rightarrow  F(x_1 \wedge y_1, x_2  \wedge  y_2, \ldots, x_n \wedge y_n)</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 55: Строка 56:
 
* [[СКНФ]]
 
* [[СКНФ]]
 
* [[2SAT]]
 
* [[2SAT]]
 +
* [[ДНФ]]
  
 
==Примечания==
 
==Примечания==
Строка 61: Строка 63:
  
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause| Wikipedia {{---}} Horn clause]
+
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Conjunctive_normal_form Wikipedia {{---}} CNF]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability| Wikipedia {{---}} 2-satisfiability]
+
 
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
  
 
[[Категория: Булевы функции ]]
 
[[Категория: Булевы функции ]]

Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022

Рассмотрим две формы, с помощью которых можно представить формулы, заданные в конъюнктивной нормальной форме, то есть имеющей вид конъюнкции выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию одного или нескольких литералов. Для двух этих форм существует алгоритм, который может за полиномиальное время проверить, существует ли набор аргументов, на которых данная функция будет принимать значение [math]1[/math], в то время, как для обычной функции, не представленной данной формой, эта задача является [math]\mathrm{NP}[/math]-полной. Этот факт интересен потому, что, имея большое количество функций, которые можно свести к форме Хорна или Крома, мы сможем гарантированно вычислять необходимое нам условие за полиномиальное время. Поэтому с помощью применения данных форм мы сможем решать очень быстро целый класс задач, например, задачи на графах, которые, как известно, имеют большое практическое применение.

КНФ в форме Крома

Определение:
Конъюнктивная нормальная форма (англ. conjunctive normal form, CNF) в форме Крома, 2-КНФ[1] (англ. 2-CNF) — конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию ровно двух литералов.


Пример :

[math](x_1\vee\overline x_2) \wedge (\overline x_1 \vee x_3 ) \wedge (\overline x_3 \vee x_2 ) \wedge (\overline x_1 \vee \overline x_2) \wedge\ldots [/math]

Утверждение:
Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что формулу, заданную в форме Крома, можно удовлетворить.
Основная статья: 2SAT


Утверждение:
Функцию [math]F[/math] можно задать в форме Крома [math] \iff [/math] выполнено следующее следствие : [math] F(x_1, \ldots, x_n)=F(y_1, \ldots, y_n)=F(z_1, \ldots, z_n)=1 \Rightarrow[/math] [math]F(\langle x_1, y_1, z_1 \rangle, \langle x_2, y_2, z_2 \rangle, \ldots, \langle x_n, y_n, z_n \rangle)[/math]

КНФ в форме Хорна

Определение:
Конъюнктивная нормальная форма (англ. conjunctive normal form, CNF) в форме Хорна[2] (англ. Horn clause) — это конъюнкция выражений в скобках, каждое из которых представляет собой дизъюнкцию литералов, в которой присутствует не более одного литерала без отрицания.


Пример:

[math] (\overline x_1 \vee \overline x_2 \vee \ldots \vee \overline x_n ) \wedge (x_1 \vee \overline x_2 \vee \ldots \vee \overline x_n)\wedge \ldots[/math]

Каждая скобка представляет собой Дизъюнкт Хорна[3].

Утверждение:
Существует алгоритм, который за полиномиальное время проверяет, что функцию, заданную в форме Хорна, можно удовлетворить.
[math]\triangleright[/math]

Далее будет приведено доказательство, предлагающее алгоритм решения.

  • Шаг 1. Одиночное вхождение переменных. Найдем в данной формуле одиночно стоящие переменные. Например, для формулы [math] x \wedge (x \vee \neg y \vee \neg z) [/math] такой переменной является [math]x[/math].
    1. Присутствуют одиночно стоящие переменные.
      Присвоим всем таким переменным значение [math] 1 [/math], если переменная входит без отрицания и [math]0[/math] иначе, так как в конъюнкции они должны дать [math]1[/math]. Заметим, что если какая-либо скобка после этого обратилась в [math] 0 [/math], то решения не существует.
    2. Отсутствуют одиночно стоящие переменные.
      Всем переменным надо присвоить значение [math] 0 [/math] и булева формула разрешится. Это следует из того, что в каждом дизъюнкте есть хотя бы одна переменная с отрицанием, подставив в нее значение [math]0[/math] мы получим [math] 1[/math] в результате дизъюнкции. В итоге мы получим выражение вида: [math]1\wedge 1 \wedge \ldots \wedge 1[/math], что в результате даст нам [math] 1[/math]. В таком случае дальнейшие шаги выполнять не нужно.
  • Шаг 2.
    Опустим одиночно стоящие переменные и скобки, в которых значение стало равным [math]1[/math]. Перейдём к [math]1[/math] шагу алгоритма. По определению формы Хорна, в каждой из скобок, где мы опустили переменную, не больше [math]1[/math] переменной без отрицания. Либо какая-то из переменных внутри скобки будет иметь отрицание, т.е. при подстановке [math]0[/math] станет равна [math]1[/math], либо мы рассмотрим переменную без отрицания как отдельно стоящую переменную. Значит [math]1[/math] шаг алгоритма выполнится верно. Будем проделывать алгоритм, начиная сначала, пока [math]1[/math] шаг не найдёт ответ.

Обозначим за [math]N[/math] число вхождений переменных в формулу.

Итерация состоит из шагов, каждый из которых выполняется за [math]O(N)[/math]. Всего итераций будет не больше [math]N[/math], так как если первый шаг не завершил алгоритм, то уменьшил размер формулы на одно вхождение. Итого, асимптотика алгоритма составляет [math]O(N^2)[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Функцию [math]F[/math] можно задать в форме Хорна [math] \iff [/math] выполнено следующее следствие:[math] F(x_1, \ldots, x_n)=F(y_1, \ldots, y_n)=1 \Rightarrow F(x_1 \wedge y_1, x_2 \wedge y_2, \ldots, x_n \wedge y_n)[/math]

См.также

Примечания

Источники информации