Просмотр исходного текста страницы Список билетом. Семестр 1

== Глава1. Введение в анализ. ==

1.	Множества и операции над ними. Отображения (образ, прообраз, композиция, обратное отображение).
2.	Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел (пример квадратного корня из двух), точные грани числовых множеств.
3.	Принцип вложенных отрезков.
4.	Принцип математической индукции: конечный бином Ньютона, неравенство Бернулли.
5.	Понятие о мощности множества, минимальность счетной мощности.
6.	Мощность не более чем счетного объединения не более чем счетных множеств, мощность Q.
7.	Несчетность вещественного отрезка, мощность R.
8.	Определение предела последовательности (eps-N, окрестности), ограниченность сходящейся последовательности, единственность предела.
9.	Беск. малые последовательности: арифметика, связь со сходящимися последовательностями.
10.	Арифметика предела последовательностей.
11.	Предельный переход в неравенстве, принцип сжатой переменной для оследовательностей.
12.	Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.
13.	Число е.
14.	Теорема Больцано-Вейерштрасса.
15.	Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.

== Глава2. Метрические пространства и непрерывные отображения. ==

16.	Определение МП, шары в МП.
17.	Открытые и замкнутые множества в МП.
18.	Компакты в МП, теорема Хаусдорфа.
19.	Связные множества в МП, критерий связности на вещественной оси.
20.	Предел в МП, единственность.
21.	Предел отображения в МП, предел сложного отображения.
22.	Непрерывные отображения в МП, прообразы открытых и замкнутых множеств.
23.	Непрерывность расстояния точки до множества, нормальность МП.
24.	Непрерывный образ компакта.
25.	Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
26.	Теорема Вейерштрасса об экстремумах.
27.	Непрерывный образ связного множества.
28.	Теорема Коши о промежуточных значениях.
29.	Классификация точек разрыва функции, разрывы монотонной функции.
30.	Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
31.	Непрерывность элементарных функций: xm/n, ex, ln(x), sin(x), arcsin(x).
32.	Вычисление пределов (1+x)1/x, (ex-1)/x, ln(1+x)/x, ((1+x)m-1)/(mx).
33.	Вычисление предела sin(x)/x.

== Глава3. Дифференцируемые функции. ==

34.	Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.
35.	Арифметика дифференцирования.
36.	Производная сложной и обратной функций.
37.	Производные элементарных функций.
38.	Дифференциалы и производные высших порядков, связь между ними, инвариантность формы записи дифференциалов.
39.	Правило Лейбница вычисления производной n-ого порядка произведения функций.
40.	Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.
41.	Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной.
42.	Теорема Ролля о нулях производной.
43.	Формула конечных приращений Лагранжа.
44.	Формула конечных приращений Коши.
45.	Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
46.	Формула Тейлора для полиномов.
47.	Формула Тейлора с остатком Пеано.
48.	Формула Тейлора с остатком Лагранжа. 
49.	Разложения по формуле Тейлора элементарных функций.
50.	Исследование функции на экстремум с помощью формулы Тейлора.
51.	Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.
52.	Определение  выпуклой функции, неравенство Иенсена.
53.	Исследование функции на выпуклость с помощью производной.
54.	Неравенство между обобщенными средними геометрическом и арифметическом, неравенство Юнга.
55.	Неравенство Гельдера для сумм.
56.	Неравенство Минковского для сумм.
57.	Модуль непрерывности и его свойства.
58.	Теорема о выпуклом модуле непрерывности.
59.	Полиномы и теорема Бернштейна.
60.	Теорема Вейерштрасса  приближении непрерывной функции полиномами.

== Глава4. Интеграл Римана. ==

61.	Определение первообразной функции, связь между первообразными одной функции.
62.	Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, формула интегрирования по частям.
63.	Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.
64.	Линейность интеграла Римана, интегрирование неравенства.
65.	Суммы Дарбу и их свойства.
66.	Критерий интегрируемости по Риману, пример функции Римана.
67.	Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции.
68.	Аддитивность интеграла Римана.
69.	Интегрируемость монотонной и непрерывной функций.
70.	Теорема о среднем значении.
71.	Теорема Барроу. 
72.	Формула Ньютона-Лейбница.
73.	Определенное интегрирование заменой переменной и по частям.
74.	Критерий сходимости несобственных интегралов.
75.	Принцип сравнения несобственных интегралов.
76.	Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
77.	Остаток формулы Тейлора в интегральной форме.
78.	Формула Валлиса.
79.	Длина кривой и ее вычисление.
80.	Вычисление площадей и объемов некоторых фигур посредством интеграла.

== Глава5. Числовые ряды. ==

81.	Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда.
82.	Сравнение положительных рядов.
83.	Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда.
84.	Интегральный признак Коши сходимости рядов.
85.	Критерий Коши сходимости положительных рядов.
86.	Ряды и теорема Лейбница.
87.	Признак типа Абеля-Дирихле сходимости рядов.
88.	Закон ассоциативности для числовых рядов ( в обе стороны).
89.	Закон коммутативности для абсолютно сходящихся числовых рядов.
90.	Постоянная Эйлера.
91.	Понятие о теореме Римана о перестановке членов числового ряда. Пример перестановки, меняющей сумму ряда.
92.	Умножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
93.	Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.