Список заданий по АСД сем2

<wikitex>

Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных, 4 семестр

1. Бордером строки называется строка, которая является одновременно ее префиксом и суффиксом. Периодом строки $s$ называется число $p$, такое что для всех допустимых $i$ выполнено $s[i+p]=s[i]$. Докажите, что если у строки длины $n$ есть border длины $k$, то у нее есть период $n - k$.
2. Докажите, что если у строки есть периоды $p$ и $q$, причем $p + q \le n$, то $gcd(p, q)$ также является периодом этой строки.
3. Что будет, если в предыдущем задании убрать условие $p + q \le n$?
4. Строки Фибоначчи. Определим $F_0 = \varepsilon$, $F_1 = b$, $F_2 = a$, $F_n = F_{n-1} F_{n-2}$. Докажите, что существует $k$ такое, что для $n \ge k$ выполнено $F_n^2$ - префикс $F_{n+2}$.
5. Докажите, что существует $k$ такое, что если $n \ge k$, то строка $F_n[1...|F_n|-2]$ - палиндром.
6. Определим строку Туе-Морса: $T_n = t_0t_1t_2...t_{2^n - 1}$, где $t_i = 0$, если двоичная запись числа $i$ содержит четное число единиц, и $t_i = 1$ в противном случае. Доказать, что не существует двух равных как строки подстрок строки $T_n$, имеющих пересекающиеся вхождения в $T_n$
7. Докажите, что для любого $u \ne \varepsilon$ и любого $n$ строка $u^3$ - не подстрока $T_n$
8. Разработать алгоритм восстановления строки по префикс-функции. ($O(n)$ или $O(n \log n)$, алфавит неограничен)
9. Разработать алгоритм восстановления строки по z-функции. ($O(n)$ или $O(n \log n)$, алфавит неограничен)
10. Разработать алгоритм восстановления строки по z-функции. ($O(n)$ или $O(n \log n)$, алфавит двоичный)
11. Вычислить $z$-функцию по префикс функции. ($O(n)$ или $O(n \log n)$, алфавит неограничен, не прибегать к промежуточному представлению в виде строки)
12. Вычислить префикс функцию по $z$-функции. ($O(n)$ или $O(n \log n)$, алфавит неограничен, не прибегать к промежуточному представлению в виде строки)
13. Как найти строку длины $m$ в строке длины $n$ с использованием z-функции и O(m) дополнительной памяти?
14. Задана строка. Пусть $p_1[i]$ - максимальная длина палиндрома нечетной длины с центром в позиции $i$. $p_0[i]$ - аналогично для четной длины. Модифицировать алгоритм поиска $z$-функции для построения $p_0$ и $p_1$.
15. Дана строка $s$. Посчитать матрицу $A: ||a_{ij}|| = LCP(s[i .. n-1], s[j .. n-1])$; $i,j \ge 0$ за $O(|s|^2)$. (LCP - наибольший общий префикс двух строк)
16. Докажите, что в конечном автомате для поиска подстроки в строке длины $n$ лишь $O(n)$ ребер ведут не в начальное состояние. Как это помогает сэкономить память?
17. Алгоритм Саймона. Используя результат предыдущего задания, предложите алгоритм построения автомата за $O(n)$ (без множителя, зависящего от размера алфавита).
18. Дана строка $s$. Посчитать число строк длины $L$, содержащих $s$ как подстроку. Время работы должно быть полиномом от длины $s$, и $L$.
19. Дана строка $s$. Посчитать число строк длины $L$, содержащих $s$ как подстроку (по заданному модулю). Время работы должно быть полиномом от длины $s$, и $\log L$.
20. Дана строка $s$. Посчитать число строк длины $l$, содержащих не менее $k$ вхождений $s$.
21. Дана строка $s$. Посчитать число строк длины $l$, содержащих не менее $k$ непересекающихся вхождений $s$.
22. Это и следующее задание доказывают линейность алгоритма Апостолико-Джанкарло. Будем обозначать закешированные значения наибольшего суффикса образца, который заканчивается в i-й позиции текста как suf[i]. Будем называть отрезок текста [i-suf[i]+1 - i] покрытым. Докажите, что любые два покрытых отрезка в процессе работы алгоритма либо вложены, либо не пересекаются.
23. Используя результат предыдещего задания, докажите, что алгоритм Апостолико-Джанкарло работает линейное время.
24. Докажите, что если строки s и t таковы, что st=ts, то найдется такая строка p, что $s=p^i$ и $t=p^j$ для некоторых i и j.
25. Модифицировать алгоритм Ахо-Корасик так, чтобы не хранить все переходы, а только исходный бор и суффиксные ссылки, и время работы осталось прежним.
26. Найти первые вхождения каждого из образцов в тексте за время O(длина текста + постр. автомата).
27. Дано 2 бора A и B. Для всех вершин $u$ в $A$ найти самую глубокую вершину $v$ в $B$, соответствующую суффиксу $u$ (префикс-функция бора в боре). $O(|A| + |B|)$
28. Дан набор образцов $\{p_i\}$. Определить, существует ли бесконечная вправо строка $t$, не содержащая $p_i$ как подстроки.
29. Дан набор образцов $\{p_i\}$. Определить, существует ли бесконечная в две стороны строка $t$, не содержащая $p_i$ как подстроки.
30. Дан набор образцов $\{p_i\}$. Посчитать число строк длины $l$, содержащих хотя бы одну из $p_i$ как подстроку. $O(\sum |p_i|\cdot l\cdot \sigma)$. ($\sigma$ - размер алфавита)
31. Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "максимальное ребро на пути из $u$ в $v$" Для решения задачи модифицировать метод двоичного подъема ($O(n\log n)$ - предобработка, $O(\log n)$ - ответ на запрос).
32. Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес пути из $u$ в $v$". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(1)$.
33. Дано взвешенное дерево. Разбить вершины его на множество путей (каждая вершина принадлежит ровно одному пути), чтобы путь от любой вершины до любой переходил с одного пути на другой не более $O(\log n)$ раз.
34. Дано взвешенное дерево. Уметь отвечать на запросы "минимальное ребро на пути из $u$ в $v$" и "изменить весь ребра $uv$" за полином от логарифма.
35. Дано взвешенное дерево. Уметь отвечать на запросы "сумма ребер на пути из $u$ в $v$" и "изменить весь ребра $uv$" за $O(\log n)$.
36. Дан массив $a$. Посчитать массив $RMQ[i][j] = min(a[i] ... a[j])$ за $O(n^2)$.
37. Модифицировать алгоритм Фараха-Колтона-Бендера, чтобы массив precalc занимал только $O(d)$ памяти для каждой маски.
38. Свести задачу RMQ к задаче LCA линейного размера (указание: использовать декартово дерево)
39. Можно ли свести задачу RMQ к задаче RMQ$\pm 1$ так, чтобы размер получившегося массива был равен $n+C$, где $n$ - длина исходного массива, а $C$ - константа?
40. Докажите, что число различных как строки подстрок $s$ равно $n(n + 1) / 2$ - sum(lcp[i]).
41. Найти самую длинную строку $p$, такую, что она входит в строку $t$ дважды и не пересекаясь. Решение должно работать за $SA + O(n)$, где $SA$ - время построения суффиксного массива.
42. Использовать суффиксный массив для нахождения такой строки $p$, что $|p| \times $(число вхождений $p$ в $t$) было максимальным за $SA + O(n)$
43. Пусть в алфавите есть ровно два символа. Построить такую строку $s$, что её суффиксный массив совпадает с данным, за $O(n)$.
44. Пусть $B(S)$ - множество бордеров $S$. Найти за $SA + O(n)$ сумму $\sum\limits_{i = 1}^{n} \sum\limits_{j = i}^{n} B(S[i..j])$.
45. Найти строку над алфавитом $\{0, 1\}$, в которой $\Omega(n^2)$ различных как строки подстрок.
46. Строка $s$ называется ветвящейся вправо в $t$, если существуют символы $c$ и $d$, такие что $c \ne d$ : $sc$ и $sd$ - подстроки $t$. Аналогично, ветвящаяся влево, если $cs$ и $ds$ - подстроки $t$. Найти самую длинную ветвящуюся влево и вправо подстроку $t$ за $SA + O(n)$.
47. Найти количество ветвящихся влево и вправо строк для строки $t$. Считать только разные строки.
48. Строка $s$ называется максимальным повтором в $t$, если 1) $s$ входит в $t$ не менее двух раз; 2) если $r$ входит в $t$ не менее двух раз, то $s$ - не является собственной подстрокой $r$. Доказать или опровергнуть, что все максимальные повторы равны по длине.
49. Найти все максимальные повторы за $O(SA + n + ans)$.
50. Петя забыл про спуск по счетчику в алгоритме Укконена. Привести пример строки, на которой полученный алгоритм будет работать дольше чем за $O(n)$.
51. Привести пример, когда в алгоритме Укконена в одной итерации спуск происходит по $\Omega(n)$ реберам.
52. Построить суффиксный массив по суффиксному дереву за $O(n)$.
53. Построить суффиксное дерево по суффиксному массиву за $O(n)$.
54. Определить число различных подстрок в строке с помощью суффиксного дерева за $ST + O(n)$. ($ST$ - время построения суффиксного дерева, суффиксный массив не использовать)
55. Использовать суффиксный массив для нахождения такой строки $p$, что $|p| \times $(число вхождений $p$ в $t$) было максимальным за $ST + O(n)$
56. Найти максимальную подстроку в строке, имеющую два непересекающихся вхождения за $ST + O(n)$.
57. Найти строку максимальной длины, ветвящаяся влево и вправо за $ST + O(n)$.
58. Найти подпалиндром максимальной длины за ST + O(n).
59. Алгоритм Хьюи. Дано дерево, вершины которого раскрашенны в цвета, то есть задано отображение $col: V \to \{1..k\}$. С помощью LCA найти $dc: V \to \{1..k\}$, где $dc(u)$ - число различных цветов в поддереве с корнем в вершине $u$. Время работы - $O(DCU)$.
60. Используя результат предыдущей задачи, найти наибольшую общую подстроку $k$ строк за $O(n + DSU)$.
61. Найти наибольший общий подпалиндром за $ST + O(DSU)$.
62. Найти наибольший максимальный повтор за $ST + O(n)$.

</wikitex>