Редактирование: Список заданий по АСД 2к 2015 осень

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 95: Строка 95:
 
# Вспомните граф, показанный на лекции, где пропускные способности трех средних ребер 1, $\varphi$ и $\varphi^2$. Предложите последовательность дополняющих путей в этом графе, при выборе которых максимальный поток никогда не будет найден.
 
# Вспомните граф, показанный на лекции, где пропускные способности трех средних ребер 1, $\varphi$ и $\varphi^2$. Предложите последовательность дополняющих путей в этом графе, при выборе которых максимальный поток никогда не будет найден.
 
# Будем жадно выбирать для дополнения путь с максимальной остаточной пропускной способностью. Докажите, что при этом в сети с целочисленными пропускными способностями время работы алгоритма будет $O(poly(V, E) \log(C_{max}))$, где $C_{max}$ - максимальная пропускная способность ребра, а $poly$ - некоторый полином.
 
# Будем жадно выбирать для дополнения путь с максимальной остаточной пропускной способностью. Докажите, что при этом в сети с целочисленными пропускными способностями время работы алгоритма будет $O(poly(V, E) \log(C_{max}))$, где $C_{max}$ - максимальная пропускная способность ребра, а $poly$ - некоторый полином.
# Докажите теорему о декомпозиции: любой поток можно представить в виде $f = \sum c_i f_{P_i} + \sum d_j f_{C_j}$, где $P_i$ - пути из s в t, $C_j$ - циклы, $f_{P_i}$ и $f_{C_j}$ - единичные потоки вдоль этих путей/циклов, $c_i$ и $d_j$ - константы.  
+
# Докажите теорему о декомпозиции: любой поток можно представить в виде $f = \sum c_if_{P_i} + \sum d_j f_{C_j}$, где $P_i$ - пути из s в t, $C_j$ - циклы, $f_{P_i}$ и $f_{C_j}$ - единичные потоки вдоль этих путей/циклов, $c_i$ и $d_j$ - константы.  
 
# Докажите, что для любых $V$ и $E$ ($E = O(V^2)$, $E = \Omega(V)$) существует граф с $V$ вершинами и $E$ ребрами, в котором любая декомпозиция любого максимального потока содержит $\Omega(E)$ слагаемых, каждое из которых есть путь/цикл длины $\Omega(V)$.
 
# Докажите, что для любых $V$ и $E$ ($E = O(V^2)$, $E = \Omega(V)$) существует граф с $V$ вершинами и $E$ ребрами, в котором любая декомпозиция любого максимального потока содержит $\Omega(E)$ слагаемых, каждое из которых есть путь/цикл длины $\Omega(V)$.
 
# Поток назовём циркуляцией, если его величина равна 0. Пусть в графе $G$ заданы две функции на ребрах: $L: E\to \mathbb{R}$ и $R: E\to \mathbb{R}$. Будем называть циркуляцию допустимой, если $L(uv) \le f(uv) \le R(uv)$. Требуется свести задачу поиска допустимой циркуляции в сети к задаче о максимальном потоке.
 
# Поток назовём циркуляцией, если его величина равна 0. Пусть в графе $G$ заданы две функции на ребрах: $L: E\to \mathbb{R}$ и $R: E\to \mathbb{R}$. Будем называть циркуляцию допустимой, если $L(uv) \le f(uv) \le R(uv)$. Требуется свести задачу поиска допустимой циркуляции в сети к задаче о максимальном потоке.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)