1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
# Рассмотрим коды Грея для перестановок и коды Грея для их таблиц инверсий. Есть ли между ними связь?
# Сочетание с повторениями - это способ выбрать из $n$ элементов $k$, причем один элемент можно выбирать несколько раз. Порядок не важен. Чему равно число сочетаний с повторениями из $n$ по $k$?
# Предложите альтернативное доказательство формулы включения-исключения: посчитайте для каждого элемента, сколько раз он будет посчитан в правой части формулы и используйте формулу $\sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^k = 0$.
# Предложите алгоритм получения по перестановке ее таблицы инверсий за $O(n \log n)$.
# Предложите алгоритм получения перестановки по ее таблице инверсий за $O(n \log n)$.
# Максимумом в перестановке называется элемент, который больше своих соседей (одного, если он первый или последний, обоих иначе). Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементами с $k$ максимумами
# Подъемом в перестановке называется пара соседних элементов, таких что $a_{i-1} < a_i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ подъемами
# Неподвижной точкой в перестановке называется элемент $a_i = i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ неподвижными точками
# Докажите, что числа Стирлинга 1 рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов базиса возрастающих факториальных степеней к базису обычных степеней
# Докажите, что числа Стирлинга 2 рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней
# Укажите способ подсчитать число разбиений заданного $n$-элементного множества на $k$ упорядоченных непустых подмножеств
# Докажите, что $n$-е число Каталана равно ${2n \choose n}/(n+1)$
# Двоичное дерево - это подвешенное дерево, где каждая вершина может иметь двух детей: левого и правого. Каждый из них также является двоичным деревом (либо отсутствует). Докажите, что число двоичных деревьев с $n$ вершинами равно $n$-му числу Каталана.
# Подвешенное дерево с порядком на детях - это подвешенное дерево, где каждая вершина может иметь произвольное число детей, причем дети упорядочены. Каждый ребенок в свою очередь является подвешенным деревом. Докажите, что число подвешенных деревьев порядком на детях с $n$ вершинами равно $n-1$-му числу Каталана.
# Докажите, что число триангуляций правильного $n$-угольника равно $n-2$-му числу Каталана.
# Установите явное взаимно-однозначное соответствие между объектами из предыдущих трех заданий и правильными скобочными последовательностями.
# Укажите способ подсчитать число разбиений числа на слагаемые за $O(n \sqrt{n})$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей подстроке за $O(n^2)$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей возрастающей подпоследовательности за $O(n^3)$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей возрастающей подпоследовательности за $O(n^2)$
# Докажите, что минимальное число невозрастающих подпоследовательностей, на которые можно разбить заданную последовательность, равно длине ее наибольшей возрастающей подпоследовательности
# Решите задачу о наибольшей возрастающей подпоследовательности за $O(n \log n)$ без дерева отрезков
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей пилообразной подпоследовательности (последовательность называется пилообразной, если никакие ее три подряд идущих элемента не образуют ни возрастающую, ни убывающую последовательность)
# Докажите, что произведение длины наибольшей возрастающей подпоследовательности и наибольшей убывающей подпоследовательности перестановки не меньше $n$
# Будем говорить, что строки a и b образуют пару подстрок строки c, если c можно представить как xaybz, где x, y и z - произвольные строки. Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей паре подстрок.
# Задача о редакционном расстоянии: найдите последовательность действий для превращения строки $s$ в строку $t$ с помощью операций вставки, удаления и замены символа. Длины строк $m$ и $n$, соответственно. Требуется решить задачу за $O(mn)$ с памятью $O(m + n)$.
# Решите задачу о редакционном расстоянии, если помимо операций вставки, удаления и замены символа можно использовать операцию обмена местами двух соседних символов. Стоимость всех операций одинаковая.
# Решите битоническую задачу о комивояжере: найдите во взвешенном графе гамильтонов цикл минимального веса, который удовлетворяет дополнительно следующему свойству: сначала номера посещенных вершин возрастают, а затем убывают. Время $O(n^2)$.
# Задача о рюкзаке: дано $n$ предметов, у каждого предмета есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$. Решите задачу за время $O(nc)$ с памятью $O(c)$.
# Задача о рюкзаке без ограничения на число одинаковых предметов: дано $n$ типов предметов, у каждого предмета есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$. Каждого предмета можно брать несколько (любое количество) экземпляров. Решите задачу за время $O(nc)$ с памятью $O(c)$.
# Непрерывная задача о рюкзаке: дано $n$ жидкостей, у каждой жидкости есть доступное количество $w_i$ и стоимость единицы жидкости $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать для каждой жидкости число $0 \le x_i \le w_i$, чтобы суммарной стоимости выбранных жидкостей $\sum x_iv_i$ была максимальна и суммарное объем взятых жидкостей $\sum x_i$ был не более $c$.
# Задача о рюкзаке, большой рюкзак: дано $n$ типов предметов, у предмета $i$-го типа есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, предметов каждого типа можно взять любое количество, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$. Докажите, что если максимальный вес предмета $z$, то следует взять предметов с максимальным отношением $c_i/w_i$ с суммарным весом хотя бы $c - z^2$.
# Решите задачу о рюкзаке: дано $n$ предметов, у каждого предмета есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$, время $O(2^{n/2} \cdot poly(n))$, память $O(2^{n/2})$
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей подпоследовательности-палиндроме
# Рассмотрим задачу: расставить знаки +, * и скобки в выражении таким образом, чтобы его значение было минимальным по модулю. Приведите контрпример к решению на базе ДП, в котором для каждого подотрезка хранится минимальное и максимальное положительное и отрицательное значение, достижимое на этом отрезке?
# Решите с помощью ДП задачу о наибольшей общей подпоследовательности-палиндроме
# Решите задачу о рюкзаке: дано $n$ предметов, у каждого предмета есть вес $w_i$ и стоимость $v_i$, размер рюкзака $c$, требуется выбрать предметы максимальной суммарной стоимости с весом не более $c$, время $O(2^{n/2} \cdot poly(n))$, память $O(2^{n/2})$
# Решите задачу: найти в дереве минимальное множество вершин, чтобы расстояние от любой вершины до одной из выбранных было не более $d$
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетное число слагаемых
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на различные слагаемые
# Решите задачу о гамильтоновом пути в графе за $O(2^nn)$ (считайте, что $n$ не превышает размер слова в архитектуре компьютера).
# Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
# Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
# Чему равна вероятность, что если вытянуть из колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
# Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
# Приведите пример событий, независимых попарно, но зависимых в совокупности
# Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
# Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
# Рассмотрим множество костей домино (неупорядоченные пары $(i, j)$, где $i$ и $j$ от 0 до 6, всего костей 28). Можно ли вероятностное пространство костей домино естественным образом представить как прямое произведение вероятностных пространств?
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
# Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
# Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
# Можно ли ввести равномерное распределение на натуральных числах?
# Приведите пример бесконечного вероятностного простанства
# Можно ли конструкцию с произведением вероятностных пространств распространить на бесконечное множество пространств?
# Докажите, что если $f$ и $g$ независимы, то для любых $a$ и $b$ события $[f = a]$ и $[g = b]$ независимы
# Докажите, что для независимых случайных величин $E\xi\eta =E\xi E\eta$.
# Докажите, что математическое ожидание равно $E\xi = \sum\limits_{a\in\mathbb{R}}aP(\xi=a)$. Здесь сумма берется по не более чем счетному числу возможных значений случайной величины.
# Дисперсией случайной величины называется $D\xi=E(\xi-E\xi)^2$. Докажите, что дисперсия равна $D\xi=E\xi^2-(E\xi)^2$
# Докажите, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
# Найдите математическое ожидание и дисперсию значения на нечестной монете
# Найдите математическое ожидание и дисперсию значения на честной игральной кости
# Найдите распределение, математическое ожидание и дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до первого выпадения 1.
# Ковариацией случайных величин $\xi$ и $\eta$ называют величину $Cov(\xi, \eta)=E((\xi-E\xi)(\eta-E\eta))$. Чему равна ковариация независимых случайных величин?
# Корреляцией случайных величин $\xi$ и $\eta$ называют величину $corr(\xi, \eta) = Cov(\xi, \eta) / \sqrt{D\xi D\eta}$. Докажите, что корреляция случайных величин лежит в диапазоне от -1 до 1
# Докажите или опровергните, что корреляция случайных величин равна 0 тогда и только тогда, когда они независимы
# Докажите, что корреляция случайных величин равна 1 тогда и только тогда, когда они линейно зависимы $(f = cg)$ и $c > 0$ (если $c < 0$, то корелляция равно -1)
# Случайные величины f, g и h называются независимыми в совокупности, если для любых a, b и c события [f <= a], [g <= b] и [h <= c] независимы. Приведите пример независимых попарно, но не независимых в совокупности случайных величин
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Докажите, что для монеты энтропия максимальна в случае честной монеты
# Докажите, что для n исходов энтропия максимальна если они все равновероятны
# Зафиксируйте ваш любимый язык программирования. Колмогоровской сложностью $K(x)$ для слова $x$ называется длина минимальной программы, которая выводит слово $x$. Докажите, что колмогоровская сложность не превышает $n H(x) + O(\log n)$, где $n$ - длина строки $x$, $H(x)$ - энтропия случайного источника с распределением соответствующим частотам встречания символов в $x$, константа в $O$, не зависит от слова $x$ (но может зависеть от выбранного языка программирования)
# Докажите, что для любого $c > 0$ найдется слово, для которого $K(x) < c H(x)$
# Пусть заданы полные системы событий $A = \{a_1, ..., a_n\}$ и $B = \{b_1, ..., b_m\}$. Определим условную энтропию $H(A | B)$ как $-\sum\limits_{i = 1}^m P(b_i) \sum\limits_{j = 1}^n P(a_j | b_i) \log P(a_j | b_i))$. Докажите, что $H(A | B) + H(B) = H(B | A) + H(A)$
# Что можно сказать про $H(A | B)$ если $a_i$ и $b_j$ независимы для любых $i$ и $j$?
# Что можно сказать про $H(A | A)$?
# Постройте схему получения вероятности 1/3 с помощью честной монеты, имеющую минимальное математическое ожидание числа бросков. Докажите оптимальность вашей схемы.
# Докажите, что математическое ожидание числа экспериментов при симуляции одного распределения другим асимптотически равно отношению энтропий распределений (считайте, что энтропия симулируемого распределения больше).
# Пусть $f$ и $g$ - непрерывные возрастающие функции, причем $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$, $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$, $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=1$, кроме того считайте, что вы можете вычислять $f(x)$, $g(x)$, $f^{-1}(x)$ и $g^{-1}(x)$. У вас есть случайная величина с функцией распределения $f(x)$. Как вам получить случайную величину с функцией распределения $g(x)$?
</wikitex>
