Изменения
Нет описания правки
# Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
# Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
# Посчитать хроматический многочлен полного двудольного графа $K_{n,m}$.
# Докажите, что хроматический многочлен дерева равен $t(t-1)^{n - 1}$.
# Докажите, что если хроматический многочлен графа равен $t(t-1)^{n - 1}$, то граф является деревом.
# Докажите, что если длина максимального простого нечетного цикла в $G$ есть $k$, то $\chi(G)\le k + 1$.
# Если степени вершин графа $G$ равны $d_1 \ge d_2 \ge \ldots \ge d_n$, то $\chi(G)\le \max\min\{i, d_i+1\}$.
# Если Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б) $\chi(G) \ge 1 + n/2$.
# Хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
# Докажите, что $K_{n+1}$ является единственным регулярным графом степени $n$, который имеет хроматическое число $n+1$.
# Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого имеют одниковую четностьнечетный. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
# Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
# Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
# Вершинным покрытием называется множество вершин, такое что у каждого ребра хотя один конец лежит в этом множестве. Докажите, что $A$ является вершинным покрытием тогда и только тогда, когда $V\setminus A$ является независимым множеством.
# Доказать или опровернгнуть: любое вершинное покрытие содержит как подмножество минимальное по мощности вершинное покрытие.
# Доказать или опровергнуть: если в $G$ содержится реберно простой замкнутый путь, содержащий вершинное покрытие, то его реберный граф $E_G$ гамильтонов.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \frac{n}{1+\Delta(G)}$.
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$.
# Как может поменяться $\alpha(G)$ при удалении ребра? Удалении вершины? Добавлении ребра?
# Верно ли, что для двудольного графа значение $\alpha(G)$ равно размеру максимальной доли?
# Докажите, что $G$ двудольный тогда и только тогда, когда для любого $H$ - подграфа $G$ выполнено $\alpha(H) \ge |VH|/2$ ($VH$ - множество вершин графа $H$).
# Докажите, что если в дереве расстояние между двумя любыми листьями четно, то в нем существует единственное максимальное по числу вершин независимое множество. Верно ли обратное?
# Зафиксируем $n$ и $k$. Рассмотрим граф, удовлетворяющpий следующим условиям: (1) граф $G$ содержит $n$ вершин; (2) $\alpha(G) \le k$. Среди таких графов рассмотрим граф с минимальным числом ребер. Этот граф называется граф Турана. Докажите, что в графе Турана любые две смежные вершины имеют равную степень.
# Степень любых двух несмежных вершин в графе Турана отличается не более чем на $1$.
# Оцените, сколько ребер в графе Турана.
# Граф называется $\alpha$-критическим, если удаление любого ребра увеличивает $\alpha(G)$. Приведите пример $\alpha$-критического и не $\alpha$-критического графа.
# Докажите, что в любом дереве, кроме $K_2$ существует минимальное по числу вершин вершинное покрытие, включающее все вершины, соседние с листьями.
# Доминирующим множеством в графе называется множество вершин, такое что каждая вершина либо входит в это множество, либо имеет соседа в этом множестве. Докажите, что независимое множество вершин является максимальным по включению если и только если оно является доминирующим.
# Обозначим размер минимального доминирующего множества в графе как $\gamma(G)$. Как связаны $\alpha(G)$ и $\gamma(G)$?
# Докажите, что если в графе $G$ нет изолированных вершин, и $A$ - минимальное по включению доминирующее множество в $G$, то существует $B$, не имеющее общих вершин с $A$, также являющееся минимальным по включению доминирующим множеством в $G$.
# Обозначим размер минимального по мощности покрывающего множества в графе как $\beta(G)$. Как связаны $\gamma(G)$ и $\beta(G)$?
# $k$-факторизацией графа называется разбиение множество ребер графа на его $k$-факторы. Докажите, что $K_4$ имеет единственную 1-факторизацию.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_6$.
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_{3,3}$.
# Найдите число $1$-факторов графа $K_{2n}$.
# Докажите, что граф $K_{6n-2}$ имеет 3-факторизацию.
# Докажите, что граф $K_{4n+1}$ имеет 4-факторизацию.
# Докажите, что граф $K_9$ представим в виде объединения 4 гамильтоновых циклов.
# Пусть $G$ - связный кубический граф, в котором не более двух мостов. Тогда в $G$ существует совершенное паросочетание.
# Приведите пример связного кубического графа, содержащего три моста, в котором нет совершенного паросочетания.
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Пусть $G'$ получен из $G$ удалением не более чем $k - 1$ ребер. Тогда $G'$ содержит совершенное паросочетание. Указание: используйте теорему Татта.
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Тогда для любого ребра $uv$ существует совершенное паросочетание, содержащее $uv$.
# Докажите, что если $G$ - регулярный граф четной степени, то у него есть 2-фактор.
# Пусть $r<k$ и хотя бы одно из них нечетно. Докажите, что существует $G$ - регулярный граф степени $k$, у которого нет $r$-фактора.
# Докажите, что у фактор-критического графа единственное множества Татта - пустое.
# Множество $S\subset V$, для которого $odd(G\setminus S)-|S|=def(G)$, называется барьером. $A(G)$ является барьером графа. Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является максимальным по включению барьером.
# Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является минимальным по включению барьером.
# Докажите, что пересечение двух максимальных по включению барьеров также является барьером.
# Пусть $x\in A(G)\cup C(G)$, $G'=G\setminus x$, $B'$ - барьер графа $G'$. Докажите, что $B=B'\cup x$ - барьер графа $G$. Следствие: любая вершина из $A(G) \cup C(G)$ входит в барьер графа $G$.
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, тогда $B\cap D(G)$ пусто и все компоненты $D(G)$ являются подмножествами нечетных компонент связности графа $G\setminus B$.
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, причем $x \in B$. Тогда $B' = B \setminus x$ - барьер графа $G' = G \setminus x$.
# Докажите, что пересечение всех максимальных по включению барьеров $G$ равно $A(G)$.
# Лапой называется индуцированный подграф $K_{1, 3}$ - вершина (центр лапы) и три её соседа, не связанные между собой. Докажите, что если $B$ - минимальный по включению барьер $G$, то каждая вершина $B$ - центр лапы в $G$.
# Докажите, что если $G$ содержит четное число вершин и не содержит лапы, то он содержит совершенное паросочетание (Теорема Сумнера-Лас Вергнаса).
# Матроид с выкинутым элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Множества, не содержавшие $x$, остаются независимыми. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A | A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
# Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются множества, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
# Разноцветные множества. Пусть $X$ - множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Будем называть независимыми множества, в которых все элементы разного цвета. Докажите, что эта конструкция является матроидом. Используйте определение матроида.
# Представьте конструкцию из предыдущего примера в виде прямой суммы универсальных матроидов.
# Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
# Является ли венгерский алгоритм вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
# Образуют ли паросочетания в полном графе семейство независимых множеств некоторого матроида?
# Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
# Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
# Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксиомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
# Пусть $M$ - предматроид. Как и в матроиде будем называть базой множества максимальное подмножество из $I$. Докажите, что если для каждого множества $A$ все его базы равномощны, то $M$ - матроид.
# Для каких универсальных матроидов существует изоморфный ему матричный матроид?
# Докажите, что матроид Вамоса не является представимым ни над каким полем.
# Докажите теорему об аксиоматизации циклами.
# Докажите теорему об аксиоматизации рангами.
# Замыканием множества $\langle A \rangle$ называется множество $\langle A \rangle = A \cup \{p | r(A \cup p) = r(A)$. Как устроено замыкание в графовом матроиде?
# Как устроено замыкание в матричном матроиде?
# Докажите теорему о замыканиях: (1) $A \subset \langle A \rangle$, (2) если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$, (3) $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$, (4) если $p \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$
# Докажите теорему об аксиоматизации замыканиями.
# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую констркуцию: $M^* = \langle X, \{A | \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом?
# Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
# Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
# Когда двойственный к графовому матроид является графовым?
</wikitex>
