Редактирование: Список заданий по ДМ 2к 2018 осень

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 31: Строка 31:
 
# Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
 
# Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
 
# Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
 
# Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
# Докажите, что если $v$ точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
+
# Докажите, что если $v$ {{---}} точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
 
# Опишите все деревья с диаметром 2.
 
# Опишите все деревья с диаметром 2.
 
# Опишите все деревья с диаметром 3.
 
# Опишите все деревья с диаметром 3.
Строка 65: Строка 65:
 
# Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б)  $\chi(G) \ge 1 + n/2$ .  
 
# Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б)  $\chi(G) \ge 1 + n/2$ .  
 
# Конъюнкцией $G_1 \wedge G_2$ графов называется граф с $V = V_1 \times V_2$, $(u_1, u_2)-(v_1, v_2) \in E$, если $u_1v_1 \in E_1$ и $u_2v_2\in E_2$. Доказать, что хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
 
# Конъюнкцией $G_1 \wedge G_2$ графов называется граф с $V = V_1 \times V_2$, $(u_1, u_2)-(v_1, v_2) \in E$, если $u_1v_1 \in E_1$ и $u_2v_2\in E_2$. Доказать, что хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
# Докажите, что при $n \ge 3$ $K_{n+1}$ является единственным связным регулярным графом степени $n$, который имеет хроматическое число $n+1$.
+
# Докажите, что $K_{n+1}$ является единственным регулярным графом степени $n$, который имеет хроматическое число $n+1$.
 
# Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого нечетны. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
 
# Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого нечетны. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
 
# Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
 
# Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
Строка 88: Строка 88:
 
# Постройте минимальный по числу вершин реберный граф, в котором нет гамильтонова цикла.
 
# Постройте минимальный по числу вершин реберный граф, в котором нет гамильтонова цикла.
 
# Докажите, что $G_E$ гамильтонов тогда и только тогда, когда граф $G$ содержит циклический реберно простой путь, содержащий хотя бы одну вершину, инцидентную каждому ребру графа $G$.
 
# Докажите, что $G_E$ гамильтонов тогда и только тогда, когда граф $G$ содержит циклический реберно простой путь, содержащий хотя бы одну вершину, инцидентную каждому ребру графа $G$.
# Доказать или опровернгнуть: любое вершинное покрытие содержит как подмножество минимальное по мощности вершинное покрытие.
 
# Доказать или опровергнуть: если в $G$ содержится реберно простой замкнутый путь, содержащий вершинное покрытие, то его реберный граф $E_G$ гамильтонов.
 
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \frac{n}{1+\Delta(G)}$.
 
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$.
 
# Как может поменяться $\alpha(G)$ при удалении ребра? Удалении вершины? Добавлении ребра?
 
# Верно ли, что для двудольного графа значение $\alpha(G)$ равно размеру максимальной доли?
 
# Докажите, что $G$ двудольный тогда и только тогда, когда для любого $H$ - подграфа $G$ выполнено $\alpha(H) \ge |VH|/2$ ($VH$ - множество вершин графа $H$).
 
# Докажите, что если в дереве расстояние между двумя любыми листьями четно, то в нем существует единственное максимальное по числу вершин независимое множество. Верно ли обратное?
 
# Зафиксируем $n$ и $k$. Рассмотрим граф, удовлетворяющpий следующим условиям: (1) граф $G$ содержит $n$ вершин; (2) $\alpha(G) \le k$. Среди таких графов рассмотрим граф с минимальным числом ребер. Этот граф называется граф Турана. Докажите, что в графе Турана любые две несмежные вершины имеют равную степень.
 
# Степень любых двух смежных вершин в графе Турана отличается не более чем на $1$.
 
# Оцените, сколько ребер в графе Турана.
 
# Граф называется $\alpha$-критическим, если удаление любого ребра увеличивает $\alpha(G)$. Приведите пример $\alpha$-критического и не $\alpha$-критического графа.
 
# Докажите, что в любом дереве, кроме $K_2$ существует минимальное по числу вершин вершинное покрытие, включающее все вершины, соседние с листьями.
 
# Доминирующим множеством в графе называется множество вершин, такое что каждая вершина либо входит в это множество, либо имеет соседа в этом множестве. Докажите, что независимое множество вершин является максимальным по включению если и только если оно является доминирующим.
 
# Обозначим размер минимального доминирующего множества в графе как $\gamma(G)$. Как связаны $\alpha(G)$ и $\gamma(G)$?
 
# Докажите, что если в графе $G$ нет изолированных вершин, и $A$ - минимальное по включению доминирующее множество в $G$, то существует $B$, не имеющее общих вершин с $A$, также являющееся минимальным по включению доминирующим множеством в $G$.
 
# Обозначим размер минимального по мощности покрывающего множества в графе как $\beta(G)$. Как связаны $\gamma(G)$ и $\beta(G)$?
 
# $k$-факторизацией графа называется разбиение множество ребер графа на его $k$-факторы. Докажите, что $K_4$ имеет единственную 1-факторизацию.
 
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_6$.
 
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_{3,3}$.
 
# Найдите число $1$-факторов графа $K_{2n}$.
 
# Докажите, что граф $K_{6n-2}$ имеет 3-факторизацию.
 
# Докажите, что граф $K_{4n+1}$ имеет 4-факторизацию.
 
# Докажите, что граф $K_9$ представим в виде объединения 4 гамильтоновых циклов.
 
# Пусть $G$ - связный кубический граф, в котором не более двух мостов. Тогда в $G$ существует совершенное паросочетание.
 
# Приведите пример связного кубического графа, содержащего три моста, в котором нет совершенного паросочетания.
 
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Пусть $G'$ получен из $G$ удалением не более чем $k - 1$ ребер. Тогда $G'$ содержит совершенное паросочетание. Указание: используйте теорему Татта.
 
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Тогда для любого ребра $uv$ существует совершенное паросочетание, содержащее $uv$.
 
# Докажите, что если $G$ - регулярный граф четной степени, то у него есть 2-фактор.
 
# Пусть $r<k$ и хотя бы одно из них нечетно. Докажите, что существует $G$ - регулярный граф степени $k$, у которого нет $r$-фактора.
 
# Множество $S\subset V$, для которого $odd(G\setminus S)-|S|=def(G)$, называется барьером. $A(G)$ является барьером графа. Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является максимальным по включению барьером.
 
# Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является минимальным по включению барьером.
 
# Докажите, что пересечение двух максимальных по включению барьеров также является барьером.
 
# Пусть $x\in A(G)\cup C(G)$, $G'=G\setminus x$, $B'$ - барьер графа $G'$. Докажите, что $B=B'\cup x$ - барьер графа $G$. Следствие: любая вершина из $A(G) \cup C(G)$ входит в барьер графа $G$.
 
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, тогда $B\cap D(G)$ пусто и все компоненты $D(G)$ являются подмножествами нечетных компонент связности графа $G\setminus B$.
 
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, причем $x \in B$. Тогда $B' = B \setminus x$ - барьер графа $G' = G \setminus x$.
 
# Докажите, что пересечение всех максимальных по включению барьеров $G$ равно $A(G)$.
 
# Лапой называется индуцированный подграф $K_{1, 3}$ - вершина (центр лапы) и три её соседа, не связанные между собой. Докажите, что если $B$ - минимальный по включению барьер $G$, то каждая вершина $B$ - центр лапы в $G$.
 
# Докажите, что если $G$ содержит четное число вершин и не содержит лапы, то он содержит совершенное паросочетание (Теорема Сумнера-Лас Вергнаса).
 
# Предложите алгоритм нахождения множества Татта в двудольном графе за $\mathcal{O}(nm)$.
 
# Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются множества, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
 
# Прямая сумма матроидов. Пусть $X$ и $Y$ - непересекающиеся множества, $M_1$ - матроид с носителем $X$ и $M_2$ - матроид с носителем $Y$. Построим новый матроид, назовем носителем объединение $X \cup Y$, независимыми объявим множества, которые являются объединением независимого из $M_1$ и независимого из $M_2$. Докажите, что прямая сумма матроидов является матридом.
 
# Представьте разноцветный матроид в виде прямой суммы универсальных матроидов.
 
# Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
 
# Является ли венгерский алгоритм вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
 
# Являются ли паросочетания в полном графе семейством независимых множеств некоторого матроида?
 
# Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
 
# Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
 
# Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксиомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
 
# Пусть $M$ - предматроид. Как и в матроиде будем называть базой множества максимальное по включению подмножество из $I$. Докажите, что если для каждого множества $A$ все его базы равномощны, то $M$ - матроид.
 
# Для каких универсальных матроидов существует изоморфный ему матричный матроид?
 
# Докажите, что матроид Вамоса не является представимым ни над каким полем.
 
# Аксиоматизация циклами, часть 1. Пусть множество $\mathcal C$ удовлетворяет условиям: оно не содержит пустое множество, ни один его элемент не является подмножеством другого, и если $C_1 \in \mathcal C$, $C_2 \in \mathcal C$, тогда для любого $p \in C_1 \cap C_2$ найдется $C_3 \in \mathcal C$, $C_3 \subset C_1 \cup C_2 \setminus p$. Назовем псевдонезависимым множество, не содержащее в качестве подмножества элемента $\mathcal C$. Докажите, что псевдонезависимые множества образуют семейство независимых множеств некоторого матроида.
 
# Аксиоматизация циклами, часть 2. Докажите, что множество циклов матроида из предыдущего задания совпадает с множеством $\mathcal C$.
 
# Аксиоматизация рангами, часть 1. Пусть функция $r : 2^X \to \mathbb{Z}^+$ удовлетворяет свойствам: (1) $r(A) \le |A|$, (2) если $A \subset B$, то $r(A) \le r(B)$, (3) для всех множеств $A$ и $B$ выполнено $r(A \cup B) + r(A \cap B) \le r(A) + r(B)$. Назовем псевдонезависимым множество, для которого $r(A) = |A|$. Докажите, что псевдонезависимые множества образуют семейство независимых множеств некоторого матроида.
 
# Аксиоматизация рангами, часть 2. Докажите, что ранговая функция матроида из предыдущего задания совпадает с функцией $r$.
 
# Замыканием множества $\langle A \rangle$ называется множество $\langle A \rangle = A \cup \{p \,|\, r(A \cup p) = r(A)\}$. Как устроено замыкание в графовом матроиде?
 
# Как устроено замыкание в матричном матроиде?
 
# Докажите, что если $A$ независимо, то для любого $p \in A$ выполнено $p \not\in \langle A \setminus p\rangle$.
 
# Докажите теорему о замыканиях: (1) $A \subset \langle A \rangle$, (2) если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$, (3) $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$, (4) если $p \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$
 
# Аксиоматизация замыканиями часть 1. Пусть функция $span : 2^X \to 2^X$ удовтелворяет свойствам (1)-(4) из предыдущего задания для $\langle \rangle$. Назовем псевдонезависимым множество $A$, если для любого $p \in A$ выполнено $p \not\in span(A \setminus p)$. Докажите, что псевдонезависимые множества образуют семейство независимых множеств некоторого матроида.
 
# Аксиоматизация замыканиями часть 2. Докажите, что функция замыкания в матроиде из предыдущего задания совпадает с $span$.
 
# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую констркуцию: $M^* = \langle X, \{A \,|\, \exists B $ - база $M,  A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
 
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом?
 
# Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
 
# Докажите, что двойственный матроид к $K_5$ не является графовым.
 
# Докажите, что двойственный матроид к $K_{3,3}$ не является графовым.
 
# Когда двойственный к графовому матроид является графовым?
 
# Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
 
# Дайте альтертанивное определение параллельных элементов на языке баз.
 
# Докажите, что свойство быть параллельными является отношением эквивалентности.
 
# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k  \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
 
# Сверхсильная теорема о базах. Докажите, что для любых двух различных баз $A$ и $B$ и элемента $x \in A \subset B$ найдётся $y \in B \subset A$, так что $A \setminus x \cup y$ и $B \setminus y \cup x$ обе являются базами.
 
# Проекция матроида. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид, $f : X \to Y$ - произвольная функция. Обратите внимание, что нет необходимости, чтобы $f$ была инъекцией или сюрьекцией. Построим конструкцию $f(M)$ как пару из носителя $Y$ и семейства множеств $f(I) = \{ f(A) \,|\, A \in I\}$. Докажите, что $f(M)$ является матроидом.
 
# Объединение матроидов. Объединением матроидов $M_1 = \langle X, I_1\rangle$ и $M_2 = \langle X, I_2\rangle$ называется конструкция $M = \langle X, I\rangle$, где $A \in I$, если найдутся такие $A_1 \in I_1$ и $A_2 \in I_2$, где $A = A_1 \cup A_2$. Докажите, что объединение матроидов является матроидом. Указание: рассмотрите объединение матроидов как проекцию суммы матроидов.
 
# Обратная лемма о замене. Рассмотрим матроид. Докажите, что если $A$ независимо и $B$ независимо, $|A| = |B|$, то в графе замен для множества $A$ найдется полное паросочетание на $A \oplus B$.
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)