Редактирование: Список заданий по ДМ 2к 2018 осень

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 153: Строка 153:
 
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом?
 
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом?
 
# Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
 
# Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
# Докажите, что двойственный матроид к $K_5$ не является графовым.
 
# Докажите, что двойственный матроид к $K_{3,3}$ не является графовым.
 
 
# Когда двойственный к графовому матроид является графовым?
 
# Когда двойственный к графовому матроид является графовым?
# Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
 
# Дайте альтертанивное определение параллельных элементов на языке баз.
 
# Докажите, что свойство быть параллельными является отношением эквивалентности.
 
# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k  \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
 
# Сверхсильная теорема о базах. Докажите, что для любых двух различных баз $A$ и $B$ и элемента $x \in A \subset B$ найдётся $y \in B \subset A$, так что $A \setminus x \cup y$ и $B \setminus y \cup x$ обе являются базами.
 
# Проекция матроида. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид, $f : X \to Y$ - произвольная функция. Обратите внимание, что нет необходимости, чтобы $f$ была инъекцией или сюрьекцией. Построим конструкцию $f(M)$ как пару из носителя $Y$ и семейства множеств $f(I) = \{ f(A) \,|\, A \in I\}$. Докажите, что $f(M)$ является матроидом.
 
# Объединение матроидов. Объединением матроидов $M_1 = \langle X, I_1\rangle$ и $M_2 = \langle X, I_2\rangle$ называется конструкция $M = \langle X, I\rangle$, где $A \in I$, если найдутся такие $A_1 \in I_1$ и $A_2 \in I_2$, где $A = A_1 \cup A_2$. Докажите, что объединение матроидов является матроидом. Указание: рассмотрите объединение матроидов как проекцию суммы матроидов.
 
# Обратная лемма о замене. Рассмотрим матроид. Докажите, что если $A$ независимо и $B$ независимо, $|A| = |B|$, то в графе замен для множества $A$ найдется полное паросочетание на $A \oplus B$.
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)