Изменения
Нет описания правки
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$.
# Найдите рекуррентную формулу и производящую функцию для числа блужданий из $n$ шагов, оканчивающихся в фиксированной точке $N > 0$ и не заходящих в отрицательную полупрямую.
# <s> Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентным соотношением $a_0 = 2$, $a_n = a_{n-1}^2$.</s># <s> Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентным соотношением $a_0 = 2$, $a_n = a_{n-1}^3$.</s># <s> Найдите производящую функцию для последовательности, заданной рекуррентным соотношением $a_0=a_1= 2$, $a_n = a_{n-1}\cdot a_{n - 2}$.</s>
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 6a_{n-2}-a_{n-1}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности (суммы по модулю 2) трёх перечислимых множеств.
# Докажите, что множество $\langle p \rangle$ программ, останавливающихся на своём собсвтенном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?
# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?
# Множество $U \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $U$, то есть множество $V = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in U)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in U$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым?
# В предыдущем задании можно ли утверждать, что $V$ перечислимо, если $U$ перечислимо?
# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?
# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.
# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.
# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.
# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.
# Рассмотрим два множества $A$ и $B$. Назовём их вычислимо изоморфными, если существует всюду определенная вычислимая биекция $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, такая что $x \in A$ тогда и только тогда, когда $\varphi(x) \in B$. Приведите пример различных бесконечных вычислимо изоморфных множеств.
# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных разрешимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.
# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных перечислимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.
# Множество $A$ называется m-сводимым к $B$, если существует вычислимая всюду определенная функция $f$, для которой $x \in A$ тогда и только тогда, когда $f(x) \in B$. Пишут $A \le_m B$. Докажите, что если $A$ неразрешимо и $A \le_m B$, то $B$ неразрешимо.
# Докажите, что если $A$ неперечислимо и $A \le_m B$, то $B$ неперечислимо.
# Верно ли, что для любого непустого $A$ с непустым дополнением выполнено $A \le_m \mathbb{N} \setminus A$?
# Пусть $A$ перечислимо и $\mathbb{N} \setminus A \le_m A$. Что можно сказать про $A$?
# Пусть $A$ перечислимо и $A \le_m \mathbb{N} \setminus A$. Что можно сказать про $A$?
# Существует ли множество натуральных чисел $A$, к которому m-сводится любой множество натуральных чисел?
# Множество называется m-полным, если к нему m-сводится любое перечислимое множество. Докажите, что универсальное множество является $m$-полным.
# Докажите, что диагональ универсального множества (множество $\{u | (u, u) \in U\}$ является m-полным.
# Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим КС-грамматику с одним нетерминалом $S$, алфавитом $\Sigma'$ и $n + 1$ правилом: $S \to \alpha_1 S d_1$, $S \to \alpha_2 S d_2, \ldots, S \to \alpha_n S d_n$, $S \to \varepsilon$. Язык, порождаемый этой грамматикой, называется языком списка $A$ и обозначается как $L_A$. Опишите все слова языка $L_A$.
# Докажите, что проверка грамматики на однозначность является неразрешимой проблемой. Указание: сведите к ней или её дополнению проблему соответствий Поста, используя конструкцию языка списка из предыдущего задания.
# Докажите, что для любого списка $A$ дополнение до его языка списка $\overline{L_A}$ является КС-языком. Указание: постройте МП-автомат для $\overline{L_A}$.
# Докажите, что проблема проверки пустоты пересечения двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки, что язык заданной КС-грамматики совпадает с языком заданного регулярного выражения, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что любое слово можно породить в заданной КС-грамматике, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык одной заданной КС-грамматики входит в язык другой заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданного регулярного выражения входит в язык заданной КС-грамматики, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданной КС-грамматики содержит палиндром, неразрешима.
# Пусть задано два списка $A$ и $B$. Докажите, что $\overline{L_A} \cup \overline{L_B}$ является регулярным тогда и только тогда, когда он совпадает с $\Sigma'^*$. Следовательно проблема проверки того, что КС-грамматика порождает регулярный язык, неразрешима.
# Докажите, что проблема проверки того, что дополнение языка заданной КС-грамматики является КС-языком, неразрешима.
# Рассмотрим абстрактный вычислитель "автомат с очередью" - по аналогии с автоматом с магазинной памятью, но вместо стека очередь. На переходе автомат извлекает первый символ из головы очереди, смотрит очередной символ на ленте и текущее состояние, переходит в новое состояние и добавляет в конец очереди произвольную строку. Докажите, что автомат с очередью может распознать любой перечислимый язык (указание: просимулируйте на автомате с очередью автомат с двумя стеками).
# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.
# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.
# Множество $A$ назвается эффективно бесконечным, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по числу $n$ выводит $n$ различных элементов множества $A$. Докажите, что если множество $A$ содержит бесконечное перечислимое подмножество, то оно эффективно бесконечно.
# Докажите, что если множество $A$ эффективно бесконечно, то оно содержит бесконечное перечислимое подмножество.
# Обозначим как $L(p)$ множество слов, которые допускается программой $p$. Множество $A$ назвается эффективно неперечислимым, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по программе $p$ указывает слово $x$, такое что $x \in L(p) \oplus A$. Докажите, что дополнение к диагонали универсального множества $\overline D$, где $D = \left\{p | \langle p, p\rangle \in U\right\}$, является эффективно неперечислимым.
# Докажите, что дополнение к универсальному множеству $\overline U$ является эффективно неперечислимым.
# Докажите, что любое эффективно неперечислимое множество является эффективно бесконечным.
# Множество $A$ называется иммунным, если оно бесконечно, но не является эффективно бесконечным. Множество называется простым, если оно перечислимо, а его дополнение иммунно. Докажите, что существует простое множество. Указание: рассмотрите множество $T = \left\{\langle p, x\rangle | p(x) = 1, x > 2p\right\}$.
# Докажите, что множество является иммунным тогда и только тогда, когда оно не содержит бесконечных разрешимых подмножеств.
# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cup Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.
# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.
# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.
