Список заданий по ДМ 2к 2019 осень — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 11 промежуточных версий 7 участников)
Строка 159: Строка 159:
 
# Для каких $p$ граф $G(n, p)$ а.п.н. не содержит $K_k$ (надо привести пороговую асимптотику)?
 
# Для каких $p$ граф $G(n, p)$ а.п.н. не содержит $K_k$ (надо привести пороговую асимптотику)?
 
# Докажите, что если $k = \frac{\log n}{\log\log n}$, то $k! \le n$.
 
# Докажите, что если $k = \frac{\log n}{\log\log n}$, то $k! \le n$.
# Покажите, что в первой доле случайного двудольного графа $G(n, n, 1/n)$ с вероятностью отличной от 0 существует вершина степени $\frac{\log n/\log log n}$.
+
# Покажите, что в первой доле случайного двудольного графа $G(n, n, 1/n)$ с вероятностью, не стремящейся к нулю, существует вершина степени $\frac{\log n}{\log \log n}$.
# Зачем условие двудольности в предыдущей задаче? Покажите, что его можно убрать, в случайном графе $G(n, 1/n)$ с вероятностью отличной от 0 существует вершина степени $\frac{\log n/\log log n}$.
+
# Зачем условие двудольности в предыдущей задаче? Покажите, что его можно убрать, в случайном графе $G(n, 1/n)$ с вероятностью, не стремящейся к нулю, существует вершина степени $\frac{\log n}{\log \log n}$.
 
# Докажите, что $G(n, 1/n)$ а.п.н. не содержит вершины степени больше $\frac{6\log n}{\log \log n}$. Указание, используйте приближение биномиального распределения Пуассоном и факт, что $k! \ge (k/e)^k$.
 
# Докажите, что $G(n, 1/n)$ а.п.н. не содержит вершины степени больше $\frac{6\log n}{\log \log n}$. Указание, используйте приближение биномиального распределения Пуассоном и факт, что $k! \ge (k/e)^k$.
 
# Пусть $p = o(\frac 1n)$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит циклов.
 
# Пусть $p = o(\frac 1n)$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит циклов.
Строка 167: Строка 167:
 
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = o(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. не содержит полного паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
 
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = o(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. не содержит полного паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
 
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = \omega(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
 
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = \omega(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
# Указание: в этом и следующих заданиях используйте вероятностный метод. Если вероятность, что объект обладает некоторым свойством, больше 0, то существует объект с таким свойством. Если матожидание числа объектов с некоторым свойством больше 0, то существует объект с таким свойством. Число Рамсея $R(a, b)$ - величина, такая что граф, содержащий хотя бы $R(a, b)$ вершин обязательно содержит или клику размера $a$ или независимое множество размера $b$. Оцените сверху вероятность, что граф из $G(n, \frac 12)$ содержит клику размера $k$ или независимое множество размера $k$. Сделайте вывод о нижней границе на число Рамсея: $R(k, k) \ge 2^{k/2}-1$.
+
# Указание: в этом и следующих заданиях используйте вероятностный метод. Если вероятность, что объект обладает некоторым свойством, больше 0, то существует объект с таким свойством. Если матожидание числа объектов с некоторым свойством больше 0, то существует объект с таким свойством. Число Рамсея $R(a, b)$ - величина, такая что граф, содержащий хотя бы $R(a, b)$ вершин обязательно содержит или клику размера $a$ или независимое множество размера $b$. Оцените сверху вероятность, что граф из $G(n, \frac 12)$ содержит клику размера $k$ или независимое множество размера $k$. Сделайте вывод о нижней границе на число Рамсея: $R(k, k) \ge 2^{k/2-1}$.
 
# Докажите, что существует турнир, в котором как минимум $\frac {n!}{2^{n-1}}$ гамильтоновых путей.
 
# Докажите, что существует турнир, в котором как минимум $\frac {n!}{2^{n-1}}$ гамильтоновых путей.
 
# Докажите, что любой граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами содержит двудольный подграф с как минимум $\frac m2$ ребрами.
 
# Докажите, что любой граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами содержит двудольный подграф с как минимум $\frac m2$ ребрами.
# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ существует независимое множества размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.
+
# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ существует независимое множество размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.
 
# Пусть граф $G$ с $n$ вершинами и $m \ge 4n$ ребрами изображен на плоскости, причем никакие три ребра не пересекаются в одной точке, и никакое ребро не содержит вершину как свою внутреннюю точку. Обозначим как $c$ число попарных пересечений ребер вне вершин. Докажите, что $c \ge \frac{m^3}{64n^2}$.
 
# Пусть граф $G$ с $n$ вершинами и $m \ge 4n$ ребрами изображен на плоскости, причем никакие три ребра не пересекаются в одной точке, и никакое ребро не содержит вершину как свою внутреннюю точку. Обозначим как $c$ число попарных пересечений ребер вне вершин. Докажите, что $c \ge \frac{m^3}{64n^2}$.
 
# Пусть на плоскости выбрано $n$ точек, обозначим как $l$ число прямых, каждая из которых содержит хотя бы $k+1$ из заданных точек ($1 \le k \le 2\sqrt{2n}$). Докажите, что $l \le 32n^2/k^3$.
 
# Пусть на плоскости выбрано $n$ точек, обозначим как $l$ число прямых, каждая из которых содержит хотя бы $k+1$ из заданных точек ($1 \le k \le 2\sqrt{2n}$). Докажите, что $l \le 32n^2/k^3$.
 +
# Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются множества, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
 +
# Прямая сумма матроидов. Пусть $X$ и $Y$ - непересекающиеся множества, $M_1$ - матроид с носителем $X$ и $M_2$ - матроид с носителем $Y$. Построим новый матроид, назовем носителем объединение $X \cup Y$, независимыми объявим множества, которые являются объединением независимого из $M_1$ и независимого из $M_2$. Докажите, что прямая сумма матроидов является матридом.
 +
# Представьте разноцветный матроид в виде прямой суммы универсальных матроидов.
 +
# Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
 +
# Является ли венгерский алгоритм вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
 +
# Являются ли паросочетания в полном графе семейством независимых множеств некоторого матроида?
 +
# Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
 +
# Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
 +
# Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксиомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
 +
# Пусть $M$ - предматроид. Как и в матроиде будем называть базой множества максимальное по включению подмножество из $I$. Докажите, что если для каждого множества $A$ все его базы равномощны, то $M$ - матроид.
 +
# Для каких универсальных матроидов существует изоморфный ему матричный матроид?
 +
# Докажите, что матроид Вамоса не является представимым ни над каким полем.
 +
# Проекция матроида. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид, $f : X \to Y$ - произвольная функция. Обратите внимание, что нет необходимости, чтобы $f$ была инъекцией или сюрьекцией. Построим конструкцию $f(M)$ как пару из носителя $Y$ и семейства множеств $f(I) = \{ f(A) \,|\, A \in I\}$. Докажите, что $f(M)$ является матроидом.
 +
# Циклом называется минимальное по включению зависимое множество. Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
 +
# Дайте альтернативное определение параллельных элементов на языке баз.
 +
# Докажите, что свойство быть параллельными является транзитивным отношением.
 +
# Как устроено замыкание в графовом матроиде?
 +
# Как устроено замыкание в матричном матроиде?
 +
# Докажите, что если $A$ независимо, то для любого $p \in A$ выполнено $p \not\in \langle A \setminus p\rangle$.
 +
# Докажите, что если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$.
 +
# Докажите, что $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$
 +
# Докажите, что если $q \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$
 +
# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую конструкцию: $M^* = \langle X, \{A \,|\, \exists B $ - база $M,  A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
 +
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом.
 +
# Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
 +
# Докажите, что двойственный матроид к $K_5$ не является графовым ни для какого графа.
 +
# Докажите, что двойственный матроид к $K_{3,3}$ не является графовым ни для какого графа.
 +
# Когда двойственный к графовому матроид является графовым (возможно, для графа, не совпадающего с изначальным)?
 +
# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k  \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
 +
# Сверхсильная теорема о базах. Докажите, что для любых двух различных баз $A$ и $B$ и элемента $x \in A \subset B$ найдётся $y \in B \subset A$, так что $A \setminus x \cup y$ и $B \setminus y \cup x$ обе являются базами.

Текущая версия на 14:53, 10 декабря 2019

  1. Постройте граф с $n$ вершинами, $m$ ребрами и $k$ компонентами связности. Здесь и далее "постройте граф с $n$ вершинами, ..." означает, что вы должны рассказать способ для любого $n$ построить искомый граф, либо рассказать, для каких $n$ такой граф существует и указать способ его построить, а для остальных $n$ доказать, что такого графа не существует. Аналогично следует поступить с другими параметрами, указанными в условии задачи.
  2. Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$.
  3. Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$.
  4. Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
  5. Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
  6. Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе, как $\Delta(G)$ - максимальную степень вершины в графе. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
  7. Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
  8. Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
  9. Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
  10. Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
  11. Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
  12. Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
  13. Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
  14. Докажите или опровергните, что в связном графе все простые пути, имеющие максимальную возможную длину в этом графе, имеют общую вершину.
  15. Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
  16. Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
  17. Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем нечётных простых циклов.
  18. Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем чётных простых циклов.
  19. Докажите, что граф с $n$ вершинами и $n + 4$ ребрами содержит два простых цикла, не имеющих общих ребер.
  20. Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
  21. Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
  22. Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
  23. Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
  24. Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
  25. Каждое дерево является двудольным графом. А какие деревья являются полными двудольными графами?
  26. Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
  27. Докажите, что если $v$ точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
  28. Опишите дерево с кодом Прюфера $(i, i,\ldots , i)$.
  29. Докажите, что число помеченных неподвешенных деревьев есть $n^{n-2}$, используя теорему Кирхгофа.
  30. Сколько остовных деревьев у полного двудольного графа $K_{n,m}$?
  31. Какое максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев может быть в графе с $n$ вершинами?
  32. Диаметром графа называют максимальное значение кратчайшего пути между двумя его вершинами. Пусть связный граф $G$ имеет диаметр $d$. Докажите или опровергните, что у $G$ есть остовное дерево с диаметром $d$.
  33. Рассмотрим множество остовных деревьев связного графа $G$. Построим граф $S_G$, вершинами которого являются остовные деревья $G$, а две вершины $T_1$ и $T_2$ соединены ребром, если дерево $T_2$ можно получить из $T_1$ удалением одного ребра и добавлением другого. Докажите, что $S_G$ является связным.
  34. Докажите, что две вершины $T_1$ и $T_2$ в $S_G$ соединены ребром тогда и только тогда, когда их объединение содержит ровно один простой цикл.
  35. Пусть связный граф $G$ содержит $n$ вершин, докажите, что диаметр $S_G$ не превышает $n - 1$.
  36. Приведите пример связного графа $G$, содержащего $n$ вершин, для которого граф $S_G$ имеет диаметр $n - 1$.
  37. Докажите, что для любого $1 \le k \le n - 1$ существует связный граф $G$, содержащий $n$ вершин, такой что диаметр $S_G$ равен $n - k$.
  38. Докажите, что если в связном графе есть реберно простой цикл длины $k$, то у графа есть не менее $k$ остовных деревьев.
  39. Обобщение формулы Кэли. Пусть дан полный граф из $n$ вершин, и лес в нём, компоненты связности леса имеют размеры $c_1, c_2, \ldots, c_k$. Докажите, что число способов добавить ребра, чтобы получилось дерево, равно $c_1c_2\ldots c_k(c_1+c_2+\ldots+c_k)^{k-2}$.
  40. Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины $u$, если следующая процедура всегда приводит к эйлеровому циклу: начиная с вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, по которому ранее не проходили. Докажите, что эйлеров граф является произвольно вычерчиваемым из $u$, если любой его простой цикл содержит $u$.
  41. Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то $u$ имеет максимальную степень в $G$.
  42. Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то либо $u$ - единственная точка сочленения в $G$, либо в $G$ нет точек сочленения.
  43. Доказать или опровегнуть, что если $G$ содержит порожденный тета-подграф (две вершины, соединенные тремя путями), то $G$ не гамильтонов.
  44. Обозначим как $G^3$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 3. Докажите, что если $G$ связен, то $G^3$ гамильтонов.
  45. Граф называется произвольно гамильтоновым, если следующая процедура всегда приводит к гамильтонову циклу: начиная с произвольной вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, другой конец которого мы ранее не посещали, либо обратно в вершину $u$, если непосещенных соседей нет. Опишите все произвольно гамильтоновы графы.
  46. Теорема "Антихватала". Докажите, что если не выполнено условие теоремы Хватала, то найдется граф с такой степенной последовательностью, не содержащий гамильтонова цикла.
  47. Докажите, что если сумма степеней любых двух несмежных вершин графа $G$ не меньше $n+1$, то любые две различные вершины $G$ можно соединить гамильтоновым путем.
  48. Докажите усиленную версию теоремы Редеи-Камеона: в любом сильно связном турнире с $n$ вершинами есть простой цикл любой длины от $3$ до $n$.
  49. Реберным графом для графа $G$ называется граф $G_E$, множество вершин которого совпадает с множеством ребер исходного графа, два ребра $e$ и $f$ соединены ребром в реберном графе, если у них есть общая инцидентная вершина. Докажите или опровергните, что если $G$ является эйлеровым, то реберный граф является гамильтоновым.
  50. Докажите или опровергните, что если $G_E$ является гамильтоновым, то граф $G$ является эйлеровым.
  51. В каком случае ребра реберного графа можно разбить на полные подграфы таким образом, чтобы каждая вершина принадлежала в точности двум из подграфов?
  52. Выразите число треугольников в реберном графе $G_E$ через число треугольников графа $G$ и набор его степеней.
  53. В каком случае связный граф $G$ имеет регулярный реберный граф?
  54. Постройте граф $G$ с $n \ge 4$ вершинами, для которого граф $G_E$ не эйлеров, а граф $(G_E)_E$ эйлеров.
  55. Докажите, что если $G$ содержит $n \ge 5$ вершин, то если $(G_E)_E$ эйлеров, то и $((G_E)_E)_E$ эйлеров.
  56. Постройте минимальный по числу вершин реберный граф, в котором нет гамильтонова цикла.
  57. Докажите, что $G_E$ гамильтонов тогда и только тогда, когда граф $G$ содержит циклический реберно простой путь, содержащий для каждого ребра графа $G$ хотя бы одну вершину, ему инцидентную.
  58. Обозначим как $\lambda(G)$ минимальное число ребер, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность, $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность (для полного графа полагаем $\kappa(G)=n-1$). Докажите, что $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$.
  59. Докажите. что для любых $1 \le \kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ существует граф $G$ с такими параметрами.
  60. Докажите, что не существует графов с $\kappa(G) = 3$ и $7$ ребрами.
  61. Пусть $G$ - полный двудольный граф, за исключением $K_{2,2}$. Докажите $\lambda(G)=\delta(G)$, почем единственный способ удалить $\lambda(G)$ ребер, чтобы граф потерял связность - удалить все ребра, инцидентные одной из вершин.
  62. Графы $G_1$, содержащий $n_1$ вершин и $m_1$ ребер, и $G_2$, содержащий $n_2$ вершин и $m_2$ ребер, гомеоморфны. Докажите, что $n_1+m_2 = n_2+m_1$.
  63. Рассмотрим параметрически заданную замкнутую кривую $\phi(t)$, будем говорить, что она имеет самопересечение, если есть точка на кривой, которая порождается двумя различными значениями параметра $t_1$ и $t_2$, причем в окрестности этой точки фрагменты кривой в окрестности параметра $t_2$ лежат по разную сторону от кривой в окрестности параметра $t_1$. Докажите, что планарный эйлеров граф содержит эйлеров цикл, не имеющий самопересечений.
  64. Приведите пример двухсвязного планарного графа, который не является гамильтоновым.
  65. Докажите, что планарный четырехсвязный граф гамильтонов.
  66. Пусть $G$ - планарный граф, в котором каждый треугольник ограничивает область, не содержащую ребер, причем добавление любого ребра нарушает это свойство. Докажите, что $G$ гамильтонов.
  67. Докажите, что любой трехсвязный планарный граф имеет остов, у которого наибольшая степень равна 3.
  68. Докажите, что все колеса самодвойственны.
  69. Уложите четырехмерный куб на поверхности тора
  70. Уложите $K_7$ на поверхности тора
  71. Докажите, что $K_8$ нельзя уложить на поверхности тора
  72. Найдите максимальное $k$, что граф $K_k$ можно уложить на сфере с двумя ручками.
  73. Докажите, что для любого $m$ существует $k$, такое что граф с $K_k$ нельзя уложить на сфере с $m$ ручками.
  74. Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
  75. Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
  76. Посчитать хроматический многочлен полного двудольного графа $K_{n,m}$.
  77. Докажите, что хроматический многочлен дерева равен $t(t-1)^{n - 1}$.
  78. Докажите, что если хроматический многочлен графа равен $t(t-1)^{n - 1}$, то граф является деревом.
  79. Приведите пример двух связных графов, которые не являются деревьями, не являются изоморфными и имеют одинаковые хроматические многочлены.
  80. Докажите, что если длина максимального простого нечетного цикла в $G$ есть $k$, то $\chi(G)\le k + 1$.
  81. Если степени вершин графа $G$ равны $d_1 \ge d_2 \ge \ldots \ge d_n$, то $\chi(G)\le \max\min\{i, d_i+1\}$.
  82. Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б) $\chi(G) \ge 1 + n/2$ .
  83. Конъюнкцией $G_1 \wedge G_2$ графов называется граф с $V = V_1 \times V_2$, $(u_1, u_2)-(v_1, v_2) \in E$, если $u_1v_1 \in E_1$ и $u_2v_2\in E_2$. Доказать, что хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
  84. Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого нечетны. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
  85. Докажите, что в любой раскраске реберного графа каждая вершина смежна не более чем с двумя вершинами одного цвета
  86. Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
  87. Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
  88. Граф называется однозначно раскрашиваемым, если любые две его раскраски в $\chi(G)$ цветов совпадают с точностью до переименования цветов. Приведите пример однозначно раскрашиваемого графа и графа, который не является однозначно раскрашиваемым
  89. Какое минимальное число вершин может быть в однозначно раскрашиваемом в 3 цвета графе, отличном от полного графа?
  90. Какое минимальное число ребер может быть в однозначно раскрашиваемом в $k$ цветов графе с $n$ вершинами?
  91. Доказать или опровернгнуть: любое вершинное покрытие содержит как подмножество минимальное по мощности вершинное покрытие.
  92. Доказать или опровергнуть: если в $G$ содержится реберно простой замкнутый путь, содержащий вершинное покрытие, то его реберный граф $E_G$ гамильтонов.
  93. Докажите, что $\alpha(G) \ge \frac{n}{1+\Delta(G)}$.
  94. Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$.
  95. Как может поменяться $\alpha(G)$ при удалении ребра? Удалении вершины? Добавлении ребра?
  96. Верно ли, что для двудольного графа значение $\alpha(G)$ равно размеру максимальной доли?
  97. Докажите, что $G$ двудольный тогда и только тогда, когда для любого $H$ - подграфа $G$ выполнено $\alpha(H) \ge |VH|/2$ ($VH$ - множество вершин графа $H$).
  98. Докажите, что если в дереве расстояние между двумя любыми листьями четно, то в нем существует единственное максимальное по числу вершин независимое множество. Верно ли обратное?
  99. Зафиксируем $n$ и $k$. Рассмотрим граф, удовлетворяющpий следующим условиям: (1) граф $G$ содержит $n$ вершин; (2) $\alpha(G) \le k$. Среди таких графов рассмотрим граф с минимальным числом ребер. Этот граф называется граф Турана. Докажите, что в графе Турана любые две смежные вершины имеют равную степень.
  100. Степень любых двух несмежных вершин в графе Турана отличается не более чем на $1$.
  101. Оцените, сколько ребер в графе Турана.
  102. Граф называется $\alpha$-критическим, если удаление любого ребра увеличивает $\alpha(G)$. Приведите пример $\alpha$-критического и не $\alpha$-критического графа.
  103. Докажите, что в любом дереве, кроме $K_2$ существует минимальное по числу вершин вершинное покрытие, включающее все вершины, соседние с листьями.
  104. Доминирующим множеством в графе называется множество вершин, такое что каждая вершина либо входит в это множество, либо имеет соседа в этом множестве. Докажите, что независимое множество вершин является максимальным по включению если и только если оно является доминирующим.
  105. Обозначим размер минимального доминирующего множества в графе как $\gamma(G)$. Как связаны $\alpha(G)$ и $\gamma(G)$?
  106. Докажите, что если в графе $G$ нет изолированных вершин, и $A$ - минимальное по включению доминирующее множество в $G$, то существует $B$, не имеющее общих вершин с $A$, также являющееся минимальным по включению доминирующим множеством в $G$.
  107. Обозначим размер минимального по мощности покрывающего множества в графе как $\beta(G)$. Как связаны $\gamma(G)$ и $\beta(G)$?
  108. Пусть $G$ - связный кубический граф, в котором не более двух мостов. Тогда в $G$ существует совершенное паросочетание.
  109. Приведите пример связного кубического графа, содержащего три моста, в котором нет совершенного паросочетания.
  110. $k$-факторизацией графа называется разбиение множество ребер графа на его $k$-факторы. Докажите, что $K_4$ имеет единственную 1-факторизацию.
  111. Найдите число $1$-факторизаций графа $K_6$.
  112. Найдите число $1$-факторизаций графа $K_{3,3}$.
  113. Найдите число $1$-факторов графа $K_{2n}$.
  114. Докажите, что граф $K_{6n-2}$ имеет 3-факторизацию.
  115. Докажите, что граф $K_{4n+1}$ имеет 4-факторизацию.
  116. Докажите, что граф $K_9$ представим в виде объединения 4 гамильтоновых циклов.
  117. Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Пусть $G'$ получен из $G$ удалением не более чем $k - 1$ ребер. Тогда $G'$ содержит совершенное паросочетание. Указание: используйте теорему Татта.
  118. Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Тогда для любого ребра $uv$ существует совершенное паросочетание, содержащее $uv$.
  119. Докажите, что если $G$ - регулярный граф четной степени, то у него есть 2-фактор.
  120. Пусть $r<k$ и хотя бы одно из них нечетно. Докажите, что существует $G$ - регулярный граф степени $k$, у которого нет $r$-фактора.
  121. Множество $S\subset V$, для которого $odd(G\setminus S)-|S|=def(G)$, называется барьером. $A(G)$ является барьером графа. Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является максимальным по включению барьером.
  122. Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является минимальным по включению барьером.
  123. Докажите, что пересечение двух максимальных по включению барьеров также является барьером.
  124. Пусть $x\in A(G)\cup C(G)$, $G'=G\setminus x$, $B'$ - барьер графа $G'$. Докажите, что $B=B'\cup x$ - барьер графа $G$. Следствие: любая вершина из $A(G) \cup C(G)$ входит в барьер графа $G$.
  125. Пусть $B$ - барьер графа $G$, тогда $B\cap D(G)$ пусто и все компоненты $D(G)$ являются подмножествами нечетных компонент связности графа $G\setminus B$.
  126. Пусть $B$ - барьер графа $G$, причем $x \in B$. Тогда $B' = B \setminus x$ - барьер графа $G' = G \setminus x$.
  127. Докажите, что пересечение всех максимальных по включению барьеров $G$ равно $A(G)$.
  128. Лапой называется индуцированный подграф $K_{1, 3}$ - вершина (центр лапы) и три её соседа, не связанные между собой. Докажите, что если $B$ - минимальный по включению барьер $G$, то каждая вершина $B$ - центр лапы в $G$.
  129. Докажите, что если связный граф $G$ содержит четное число вершин и не содержит лапы, то он содержит совершенное паросочетание (Теорема Сумнера-Лас Вергнаса).
  130. Найдите математическое ожидание степени вершины в биномиальной модели $G(n, p)$.
  131. Найдите вероятность, что граф в равномерной модели $G(n, m)$ является деревом ($m = n - 1$).
  132. Найдите вероятность, что граф в биномиальной модели $G(n, p)$ является деревом.
  133. Найдите вероятность, что граф в равномерной модели $G(n, m)$ является гамильтоновым циклом ($m = n$).
  134. Найдите вероятность, что граф в биномиальной модели $G(n, p)$ является гамильтоновым циклом.
  135. Докажите, что если $p = o(\frac{1}{n^2})$, то случайный граф $G(n, p)$ а.п.н. не имеет ребер (а.п.н. = асимптотически почти наверное = с вероятностью, стремящейся к 1).
  136. Докажите, что если $p = \omega(\frac{1}{n^2})$, то случайный граф $G(n, p)$ а.п.н. имеет хотя бы одно ребро.
  137. Пусть $p = \frac{c}{n^2}$ для некоторого $c$. Найдите вероятность того, $G(n, p)$ имеет хотя бы одно ребро.
  138. Оцените центральный биномиальный коэффициент ${2n \choose n}$ снизу величиной порядка $\frac {4^n}{\sqrt{n}}$. Указание: используйте формулу Стирлинга.
  139. Рассмотрим число ребер $m$, такое что $m(n) \to \infty$ и ${n \choose 2} - m(n) \to \infty$, а также $p(n) = \frac {m(n)}{n \choose 2}$. Докажите, что вероятность того, что $G(n, p)$ имеет ровно $m$ ребер есть $\Omega(m^{-0.5})$.
  140. Рассмотрим свойство $A$, а и такие же $m(n)$ и $p(n)$, как в предыдущей задаче. Докажите, что $P(G(n, m) \in A) \le C \sqrt{m} P(G(n, p) \in A)$.
  141. Рассмотрим следующую модель генерации случайного графа. Сначала проведем каждое ребро с вероятностью $\frac 12$. Затем, для каждой пары вершин, между которыми не было проведено ребро на первом шаге, проведем ребро с вероятностью $\frac 13$. Как эта модель соотносится со стандартными моделями Эрдёша-Реньи?
  142. Назовём свойство случайного графа монотонным, если оно сохраняется при добавлении ребра. Рассмотрим монотонное свойство $A$ при фиксированном размере графа $n$. Докажите, что $P(G(n, p) \in A)$ возрастает при возрастании $p$.
  143. Придумайте такое свойство, что вероятность, что $G(n, \frac 12)$ обладает этим свойством, стремится к $\frac 13$.
  144. Пусть для некоторого свойства $A$ существует две функции $p_1(n)$ и $p_2(n)$, что для графа $G(n, p_1(n))$ свойство $A$ а.п.н. не выполняется, а для $G(n, p_2(n))$ свойство $A$ а.п.н. выполняется. Докажите, что существует функция $p'(n)$, что для случайного графа $G(n, p'(n))$ свойство $A$ выполняется с вероятностью, стремящейся к $\frac 12$.
  145. Докажите, что $G(n, \frac {2\ln n}{n})$ а.п.н. не содержит изолированных вершин.
  146. Рассмотрим модель случайного двудольного графа $G(n, n, p)$: из полного двудольного графа $K_{n,n}$ каждое ребро удаляется с вероятностью $1 - p$. Пусть $X$ -- количество изолированных вершин первой доли. Найдите $EX$ и $DX$.
  147. Докажите, что если $p = o(n^{-1.5})$, то $G(n, p)$ а.п.н. является объединением компонент связности размера 1 и 2.
  148. Докажите, что если $p = \omega(n^{-1.5})$, то $G(n, p)$ а.п.н. содержит путь длины 2.
  149. Выведите формулу вероятности того, что расстояние между фиксированными вершинами $u$ и $v$ больше двух.
  150. Докажите, что $G(n, p)$ а.п.н имеет диаметр 2, если $p$ - константа.
  151. Пусть $p = c \sqrt{ \frac {\ln n}{n}}$, $c > \sqrt{2}$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. имеет диаметр 2.
  152. Докажите, что $G(n, p)$ а.п.н имеет диаметр больше 2, если $p = c \sqrt{ \frac {\ln n}{n}}$, $c < \sqrt{2}$.
  153. Пусть $p = o(n^{-\frac 23})$. Докажите, что а.п.н. $G(n, p)$ не содержит $K_4$.
  154. Пусть $p = \frac dn$. Докажите, что в $G(n, p)$ каждая вершина а.п.н. принадлежит не более, чем одному треугольнику.
  155. Пусть $p = \omega(\frac 1n)$ и $k$ -- константа. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. содержит цикл длины $k$.
  156. Покажите, что матожидание количества остовных деревьев у графа $G(n, \frac {2\ln n}{n})$ стремится к бесконечности. Можно ли это считать доказательством а.п.н. связности графа $G(n, \frac {2\ln n}n)$?
  157. Докажите, что $G(n, \frac dn), d > 1$ а.п.н. содержит индуцированный путь длины $\sqrt{\log n}$.
  158. Подберите $p(n)$ и приведите пример случайной величины $X$ в модели случайного графа $G(n, p)$, что $EX \to \infty$, но $\mathcal{P}(X = 0) \nrightarrow 0$.
  159. Для каких $p$ граф $G(n, p)$ а.п.н. не содержит $K_k$ (надо привести пороговую асимптотику)?
  160. Докажите, что если $k = \frac{\log n}{\log\log n}$, то $k! \le n$.
  161. Покажите, что в первой доле случайного двудольного графа $G(n, n, 1/n)$ с вероятностью, не стремящейся к нулю, существует вершина степени $\frac{\log n}{\log \log n}$.
  162. Зачем условие двудольности в предыдущей задаче? Покажите, что его можно убрать, в случайном графе $G(n, 1/n)$ с вероятностью, не стремящейся к нулю, существует вершина степени $\frac{\log n}{\log \log n}$.
  163. Докажите, что $G(n, 1/n)$ а.п.н. не содержит вершины степени больше $\frac{6\log n}{\log \log n}$. Указание, используйте приближение биномиального распределения Пуассоном и факт, что $k! \ge (k/e)^k$.
  164. Пусть $p = o(\frac 1n)$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит циклов.
  165. Пусть $p = \omega(\frac 1n)$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. содержит цикл.
  166. Пусть $p = \frac dn$. Что можно сказать про наличие циклов в $G(n, p)$?
  167. Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = o(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. не содержит полного паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
  168. Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = \omega(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
  169. Указание: в этом и следующих заданиях используйте вероятностный метод. Если вероятность, что объект обладает некоторым свойством, больше 0, то существует объект с таким свойством. Если матожидание числа объектов с некоторым свойством больше 0, то существует объект с таким свойством. Число Рамсея $R(a, b)$ - величина, такая что граф, содержащий хотя бы $R(a, b)$ вершин обязательно содержит или клику размера $a$ или независимое множество размера $b$. Оцените сверху вероятность, что граф из $G(n, \frac 12)$ содержит клику размера $k$ или независимое множество размера $k$. Сделайте вывод о нижней границе на число Рамсея: $R(k, k) \ge 2^{k/2-1}$.
  170. Докажите, что существует турнир, в котором как минимум $\frac {n!}{2^{n-1}}$ гамильтоновых путей.
  171. Докажите, что любой граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами содержит двудольный подграф с как минимум $\frac m2$ ребрами.
  172. Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ существует независимое множество размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.
  173. Пусть граф $G$ с $n$ вершинами и $m \ge 4n$ ребрами изображен на плоскости, причем никакие три ребра не пересекаются в одной точке, и никакое ребро не содержит вершину как свою внутреннюю точку. Обозначим как $c$ число попарных пересечений ребер вне вершин. Докажите, что $c \ge \frac{m^3}{64n^2}$.
  174. Пусть на плоскости выбрано $n$ точек, обозначим как $l$ число прямых, каждая из которых содержит хотя бы $k+1$ из заданных точек ($1 \le k \le 2\sqrt{2n}$). Докажите, что $l \le 32n^2/k^3$.
  175. Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются множества, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
  176. Прямая сумма матроидов. Пусть $X$ и $Y$ - непересекающиеся множества, $M_1$ - матроид с носителем $X$ и $M_2$ - матроид с носителем $Y$. Построим новый матроид, назовем носителем объединение $X \cup Y$, независимыми объявим множества, которые являются объединением независимого из $M_1$ и независимого из $M_2$. Докажите, что прямая сумма матроидов является матридом.
  177. Представьте разноцветный матроид в виде прямой суммы универсальных матроидов.
  178. Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
  179. Является ли венгерский алгоритм вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
  180. Являются ли паросочетания в полном графе семейством независимых множеств некоторого матроида?
  181. Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
  182. Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
  183. Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксиомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
  184. Пусть $M$ - предматроид. Как и в матроиде будем называть базой множества максимальное по включению подмножество из $I$. Докажите, что если для каждого множества $A$ все его базы равномощны, то $M$ - матроид.
  185. Для каких универсальных матроидов существует изоморфный ему матричный матроид?
  186. Докажите, что матроид Вамоса не является представимым ни над каким полем.
  187. Проекция матроида. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид, $f : X \to Y$ - произвольная функция. Обратите внимание, что нет необходимости, чтобы $f$ была инъекцией или сюрьекцией. Построим конструкцию $f(M)$ как пару из носителя $Y$ и семейства множеств $f(I) = \{ f(A) \,|\, A \in I\}$. Докажите, что $f(M)$ является матроидом.
  188. Циклом называется минимальное по включению зависимое множество. Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
  189. Дайте альтернативное определение параллельных элементов на языке баз.
  190. Докажите, что свойство быть параллельными является транзитивным отношением.
  191. Как устроено замыкание в графовом матроиде?
  192. Как устроено замыкание в матричном матроиде?
  193. Докажите, что если $A$ независимо, то для любого $p \in A$ выполнено $p \not\in \langle A \setminus p\rangle$.
  194. Докажите, что если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$.
  195. Докажите, что $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$
  196. Докажите, что если $q \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$
  197. Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую конструкцию: $M^* = \langle X, \{A \,|\, \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
  198. Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом.
  199. Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
  200. Докажите, что двойственный матроид к $K_5$ не является графовым ни для какого графа.
  201. Докажите, что двойственный матроид к $K_{3,3}$ не является графовым ни для какого графа.
  202. Когда двойственный к графовому матроид является графовым (возможно, для графа, не совпадающего с изначальным)?
  203. Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
  204. Сверхсильная теорема о базах. Докажите, что для любых двух различных баз $A$ и $B$ и элемента $x \in A \subset B$ найдётся $y \in B \subset A$, так что $A \setminus x \cup y$ и $B \setminus y \cup x$ обе являются базами.