Изменения
Нет описания правки
# Циклом называется минимальное по включению зависимое множество. Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
# Дайте альтернативное определение параллельных элементов на языке баз.
# Докажите, что свойство быть параллельными является транзитивным отношением эквивалентности.
# Как устроено замыкание в графовом матроиде?
# Как устроено замыкание в матричном матроиде?
# Докажите, что если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$.
# Докажите, что $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$
# Докажите, что если $p q \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую констркуциюконструкцию: $M^* = \langle X, \{A \,|\, \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом.
# Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
# Докажите, что двойственный матроид к $K_5$ не является графовымни для какого графа.# Докажите, что двойственный матроид к $K_{3,3}$ не является графовымни для какого графа.# Когда двойственный к графовому матроид является графовым(возможно, для графа, не совпадающего с изначальным)?
# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
# Сверхсильная теорема о базах. Докажите, что для любых двух различных баз $A$ и $B$ и элемента $x \in A \subset B$ найдётся $y \in B \subset A$, так что $A \setminus x \cup y$ и $B \setminus y \cup x$ обе являются базами.
