Изменения
Нет описания правки
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{1+3x-x^2}$ и $\frac{1}{1-2x}$.
# Найдите произведение Адамара $\frac{1}{(1-3x)^2}$ и $\frac{1}{(1-2x)^2}$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.
# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.
# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $n$ по $k$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, содержащих заданную строку $s$ длины $k$ как подпоследовательность. Сделайте вывод об асимптотическом количестве таких строк.
# Найдите производящую функцию для строк, содержащих заданный паттерн $p$ как подстроку.
# Рассмотрим бесконечную случайную строку из $0$ и $1$. Докажите, что матожидание позиции первого вхождения строки $p$ длины $k$ равно $2^k c(\frac 12)$, где $c(z)$ - автокорреляционный многочлен. Указание: можно использовать формулу $EX = \sum\limits_{n=0}^{\infty} P(X > n)$.
# Постройте производящие функции для разбиений на различные слагаемые и на нечетные слагаемые. Покажите, что они совпадают.
# Постройте производящую функцию для разбиений на не больше, чем $k$ положительных слагаемых, порядок слагаемых не важен.
# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.
# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.
# Опишите класс помеченных объектов $seq(cyc(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Будем обозначать $seq_T$, $cyc_T$, $set_T$ соответственно последовательности, циклы и множества, размер которых принадлежит множеству $T$. Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{> 1}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.
# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$ множеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на четное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{ch}(e^z-1)$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит нечетное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{sh}\,z}$.
# Докажите, что для разбиений на произвольное число подмножеств, каждое из которых содержит четное число элементов, экспоненциальная производящая функция равна $e^{\mathrm{ch}\,z-1}$. Почему здесь в показателе степени есть $-1$, а в предыдущем задании нет?
# Обобщите четыре предыдущих задания. Как выглядят экспоненциальные производящие функции для разбиений на (не)четное число подмножеств, каждое из которых содержит (не)четное число элементов? (Необходимо дать четыре ответа для всех комбинаций)
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из четных циклов
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A^{\square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.
# Докажите, что если $C = A^{\square} \star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
