Изменения
Нет описания правки
# Обозначим за $B$ множество всех конечных подмножеств $A$, в которых все элементы имеют различный вес. Выведите производящую функцию $B(t)$.
# Определим множество "неориентированных последовательностей" $B = USeq(A)$, как множество всех последовательностей элементов из $A$, где последовательность $L$ и $rev(L)$ считаются одинаковыми. Покажите, что $B(t) = \frac 12 \frac {1}{1 - A(t)} + \frac 12 \frac {1 + A(t)}{1 - A(t^2)}$
# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $kn$ по $nk$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $kn$ по $nk$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.
# Обозначим как $W$ множество всех слов над алфавитом $\{a, b\}$. Объясните равенство $W=Seq\{a\}\times Seq(\{b\}\times Seq\{a\})$. Проверьте равенство производящих функций.
# Постройте производящую функцию для строк над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых нет более $k$ подряд идущих нулей или единиц.
# Для производящей функции из прошлого задания найдите явную формулу и асимптотическое поведение количества объектов веса $n$.
# Опишите класс помеченных объектов $set(cyc_{1, 2}(Z))$. Найдите его экспоненциальную производящую функцию.
# Сюрьекции Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюрьекции сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$-элементное множествомножеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?
# Числа Белла. Число Белла $b_n$ равно числу разбиений $n$-элементного множества на подмножества (число подмножеств не фиксировано). Докажите, что экспоненциальная производящая функция для чисел Белла равна $e^{e^z-1}$.
# Гиперболический синус $\mathrm{sh}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$. Гиперболический косинус $\mathrm{ch}\,z$ равен $\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$. Рассмотрим разбиения $n$-элементного множества на непустые подмножества. Докажите, что для разбиений на нечетное число подмножеств экспоненциальная производящая функция равна $\mathrm{sh}(e^z-1)$.
# Постройте экспоненциальную производящую функцию для перестановок, состоящих из нечетных циклов.
# Докажите, что для четного N количество перестановок, в которых все циклы четные, и количество перестановок, в которых все циклы нечетные, совпадают.
# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A ^{\box square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.# Докажите, что если $C = A ^{\square} \Box star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.
