Изменения

# Будем называть нулем степенной ряд $0(s) = 0 + 0s + 0s^2 + \ldots$. Докажите, что если $A(s) \ne 0(s)$, $B(s) \ne 0(s)$, то $A(s)B(s) \ne 0(s)$.

# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $kn$ по $nk$, где любые два выбранных числа отличаются как минимум на $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.# Зафиксируем числа $k$ и $t$. Найдите производящую функцию для числа сочетаний из $kn$ по $nk$, где расстояние между любыми соседними выбранными числами не больше $t$. Исследуя ПФ, найдите количество таких сочетаний.

# Сюрьекции Сюръекции на $r$-элементное множество. Осознайте, что $seq_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт сюрьекции сюръекции на $r$-элементное множество. Найдите экспоненциальную производящую функцию.# Разбиения на $r$ множеств. Осознайте, что $set_{=r}(set_{\ge 1}(Z))$ задаёт разбиения на $r$-элементное множествомножеств. Найдите экспоненциальную производящую функцию. Что стоит при $z^n$?

# "Произведение с коробочкой": Обозначим $C = A ^{\box square} \star B$, как множество упорядоченных пар объектов из $A$ и $B$ со всеми возможными нумерациями, где атом с номером $1$ принадлежит первому элементу пары. Выведите формулу для $C_n$.# Докажите, что если $C = A ^{\square} \box star B$, то $C'(z) = A'(z) \cdot B(z)$.# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо.# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо.# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^* $ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.# Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.# Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.# Докажите, что множество программ, допускающих конечное множество слов не разрешимо.# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым? # В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима.# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.)Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо перечислимого множества $P$. Она всегда перечислима снизу, но будет вычислимой только при разрешимом $P$.)# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.# Докажите, что язык программ для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.# Докажите, что язык программ для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является либо конечным, либо неразрешимым.# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 125-128. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.# Клеточный автомат представляет собой двусторонне бесконечную ленту, каждая ячейка которой может находиться в некотором состоянии, множество состояний $Q$, обозначим состояние ячейки $i$ как $s[i]$. Исходно все ячейки находятся в состоянии $B \in Q$, кроме ячеек с номерами от 1 до $n$. Ячейка с номером $i$, где $1 \le i \le n$ находится в состоянии $x_i$, где $x$ - входное слово (будем считать, что $\Sigma \subset Q$, $B \notin \Sigma$). Правила работы клеточного автомата такие: задано число $d$ и функция $f : Q^{2d+1} \to Q$. За один шаг все клетки меняют состояние по следующему правилу: новое состояние клетки $i$ равно $f(s[i - d], s[i - d + 1], \ldots, s[i + d - 1], s[i + d])$. Если клетка с номером $0$ переходит в состояние $Y$, то автомат допускает слово $x$. Докажите, что для некоторого $d \ge 1$ клеточный автомат эквивалентен по вычислительной мощности машине Тьюринга.# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $\delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Изучите разные правила. Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов.# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними.# Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим КС-грамматику с одним нетерминалом $S$, алфавитом $\Sigma'$ и $n + 1$ правилом: $S \to \alpha_1 S d_1$, $S \to \alpha_2 S d_2, \ldots, S \to \alpha_n S d_n$, $S \to \varepsilon$. Язык, порождаемый этой грамматикой, называется языком списка $A$ и обозначается как $L_A$. Опишите все слова языка $L_A$. # Докажите, что для любого списка $A$ дополнение до его языка списка $\overline{L_A}$ является КС-языком. Указание: постройте МП-автомат для $\overline{L_A}$.# Докажите, что проблема проверки пустоты пересечения двух КС-грамматик неразрешима.# Докажите, что проблема проверки эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима.# Докажите, что проблема проверки, что язык заданной КС-грамматики совпадает с языком заданного регулярного выражения, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что любое слово можно породить в заданной КС-грамматике, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что язык одной заданной КС-грамматики входит в язык другой заданной КС-грамматики, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданного регулярного выражения входит в язык заданной КС-грамматики, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданной КС-грамматики содержит палиндром, неразрешима.# Пусть задано два списка $A$ и $B$. Докажите, что $\overline{L_A} \cup \overline{L_B}$ является регулярным тогда и только тогда, когда он совпадает с $\Sigma'^*$. Следовательно проблема проверки того, что КС-грамматика порождает регулярный язык, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что дополнение языка заданной КС-грамматики является КС-языком, неразрешима.# Односторонние исчисления. Рассмотрим конечный набор правил $P$ вида $\alpha \rightarrow \beta$. Будем говорить, что из слова $x$ выводится $y$ с помощью $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.# Двусторонние исчисления. Рассмотрим конечный алфавит $\Sigma$ и набор правил вида $\alpha \leftrightarrow \beta$. Будем говорить, что слова $x$ и $y$ эквивалентны с точностью до $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила или $\beta$ для некоторого правила на $\alpha$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где $x$ эквивалентен $y$ с точность до $P$ неразрешимо.# Докажите, существует конкретное множество правил одностороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.# Докажите, существует конкретное множество правил двустороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где $x$ эквивалентно $y$ с точностью до $P$ неразрешимо. (Это задание можно переформулировать в терминах полугрупп так: докажите, что существует полугруппа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой полугруппе неразрешима)# Предыдущее задание можно обобщить на группы: докажите, что существует группа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой группе неразрешима. Отличие от предыдущего задания: вместе с каждым символом $c$ существует также символ $c^{-1}$ и соотношения $cc^{-1}\leftrightarrow\varepsilon$, $c^{-1}c\leftrightarrow\varepsilon$..# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков является перечислимым: язык содержит палиндром.# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков является перечислимым: язык содержит два слова одинаковой длины.# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков является перечислимым: язык содержит два слова разной длины.# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков не является перечислимым: все слова языка имеют различную длину.# Докажите, что следующее свойство перечислимых языков не является перечислимым: язык не содержит заданное слово $x$.# Является ли что следующее свойство перечислимых языков перечислимым: язык содержит пару $(p, x)$, для которой $p(x) = 1$?# Является ли что следующее свойство перечислимых языков перечислимым: язык содержит пару $(p, x)$, для которой $p(x) \ne 1$?# Множество $A$ назвается эффективно бесконечным, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по числу $n$ выводит $n$ различных элементов множества $A$. Докажите, что если множество $A$ содержит бесконечное перечислимое подмножество, то оно эффективно бесконечно.# Докажите, что если множество $A$ эффективно бесконечно, то оно содержит бесконечное перечислимое подмножество.# Обозначим как $L(p)$ множество слов, которые допускается программой $p$. Множество $A$ назвается эффективно неперечислимым, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по программе $p$ указывает слово $x$, такое что $x \in L(p) \oplus A$. Докажите, что дополнение к диагонали универсального множества $\overline D$, где $D = \left\{p | \langle p, p\rangle \in U\right\}$, является эффективно неперечислимым. # Докажите, что дополнение к универсальному множеству $\overline U$ является эффективно неперечислимым.# Докажите, что любое эффективно неперечислимое множество является эффективно бесконечным.# Докажите, что множество является иммунным тогда и только тогда, когда оно не содержит бесконечных разрешимых подмножеств.# Рассмотрим два множества $A$ и $B$. Назовём их вычислимо изоморфными, если существует всюду определенная вычислимая биекция $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, такая что $x \in A$ тогда и только тогда, когда $\varphi(x) \in B$. Приведите пример различных бесконечных вычислимо изоморфных множеств.# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных разрешимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных перечислимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.# Существует ли множество натуральных чисел $A$, к которому m-сводится любой множество натуральных чисел?# Множество называется m-полным, если к нему m-сводится любое перечислимое множество. Докажите, что универсальное множество является $m$-полным.# Докажите, что диагональ универсального множества (множество $\{u | (u, u) \in U\}$является m-полным.