1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
# Докажите, что обратная по Дирихле функция к мультипликативной функции мультипликативна.
# Используя ПФД, докажите, что $\sum\limits_{d | n}\varphi(d) = n$
# Используя ПФД, докажите, что $\sum\limits_{d | n}\sigma_1(d)\varphi(n/d) = n \sigma_0(dn)$.
# Назовем функцию полностью мультипликативной, если $f(ab) = f(a)f(b)$ для любых $a$ и $b$. Какие значения $f(n)$ достаточно задать, чтобы определить $f$ на всех положительных натуральных числах?
# Найдите ПФД для функции $\lambda(n) = (-1)^k$, где $k$ - количество простых делителей $n$ (с учетом кратности). Чему равна $\sum\limits_{d | n} \lambda(d)$?
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = $ количество упорядоченных разбиений числа $n$ на (не обязательно простые) $k$ множителей, множитель 1 разрешен.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = $ количество упорядоченных разбиений числа $n$ на $\ge 0$ (не обязательно простых) множителей, множитель 1 запрещен.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = 32^{\omega(n)}$, где $\omega(n)$ - количество различных простых делителей $n$.# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо, используя перечислители (не выполняйте сведение к полуразрешителю).# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо, используя перечислители.# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.# Графиком функции $f$ называется множество пар $(x, f(x))$ для тех $x$, на которых $f$ определена. Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.# Докажите, что если $A$ неперечислимо и $A \le_m B$, то $B$ неперечислимо.# Пусть $A$ перечислимо и $\mathbb{N} \setminus A \le_m A$. Что можно сказать про $A$?# Пусть $A$ перечислимо и $A \le_m \mathbb{N} \setminus A$. Что можно сказать про $A$?# Пусть дана функция $f : A \to \mathbb{N}$. Ее продолжением на множество $B \supset A$ называется функция $g:B \to \mathbb{N}$, что если $x\in A$, то $g(x) = f(x)$. Докажите, что существует вычислимая функция $f$, у которой не существует всюду определенного вычислимого продолжения.# Два перечислимых множества $A$ и $B$, где $A \cap B = \varnothing$ называются неотделимыми, если не сущестует разрешимых множеств $X$ и $Y$, таких что $A \subset X$, $B \subset Y$, $X \cap Y = \varnothing$. Покажите, что существуют неотделимые множества. Указание: рассмотрите множества пар $\langle p, x\rangle$, где $p$ - программа, возвращающая целое число, для некоторого условия.# Обобщите определение неотделимых множеств на счетное семейство множеств. Докажите, что существует счетное семейство неотделимых множеств.# Докажите, что множество программ, допускающих заданное конечное множество слов $x_1, \ldots, x_n$, перечислимо, но не разрешимо.# Докажите, что множество программ, допускающих бесконечное множество слов не разрешимо.# Докажите, что множество программ, зависающих на любом входе, не разрешимо.# Докажите, что множество программ, останавливающихся на своём собственном исходном коде, перечислимо, но не разрешимо.# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств# Язык ограниченной задачи останова (bounded halting) $BH = \{ (p, t) | p$ завершается на пустом входе за $t$ шагов $\}$. Докажите, что $BH$ разрешим.# Докажите, что существует разрешимое множество пар, проекция которого на одну из осей не является разрешимой.# Докажите, что существует разрешимое множество пар, проекция которого на каждую из осей не является разрешимой.# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ перечислимо?# Некоторое множество $S$ натуральных чисел разрешимо. Разложим все числа из $S$ на простые множители и составим множество $D$ всех простых чисел, встречающихся в этих разложениях. Можно ли утверждать, что множество $D$ разрешимо?# Множество $A \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ разрешимо. Можно ли утверждать, что множество «нижних точек» множества $A$, то есть множество $B = \{\langle x,y\rangle | (\langle x,y\rangle \in A)$ и $(\langle x,z\rangle \not\in A$ для всех $z < y)\}$ является разрешимым? # В предыдущем задании можно ли утверждать, что $B$ перечислимо, если $A$ перечислимо?# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые не останавливаются на пустом вводе, является неразрешимым. Является ли этот язык перечислимым?# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают бесконечное число слов, является неразрешимым.# Используя теорему о рекурсии, докажите, что язык программ, которые допускают свой собственный исходный код, является неразрешимым.# Докажите, что существуют две различные программы $p$ и $q$, такие что программа $p$ печатает текст программы $q$, а программа $q$ печатает текст программы $p$.# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_1$ печатает пустую строку, а $p_i$ печатает текст программы $p_{i-1}$.# Докажите, что существует бесконечная последовательность различных программ $p_i$, такая что $p_i$ печатает текст программы $p_{i+1}$.# Докажите, что для любого конечного $n$ существует последовательность программ $p_1, p_2, \ldots, p_n$, что $p_i$ печатает текст $p_{i+1}$, а $p_n$ печатает текст $p_1$.# Докажите, что язык программ, для которых не существует более короткой программы, которая на любом входе ведёт себя так же, является неразрешимым.# Докажите, что язык программ, для которых не существует программы такой же длины, которая на любом входе ведёт себя так же, является либо конечным, либо неразрешимым.# Busy Beaver. Функция $BB(n)$ возвращает длину максимальной строки, которую программа длины $n$ может вывести на пустом входе и завершиться. Докажите, что $BB$ является невычислимой.# Докажите, что для любой всюду определенной вычислимой функции $f$ найдется значение $n$, для которого $BB(n) > f(n)$.# Докажите, что для любой всюду определенной вычислимой функции $f$ найдется бесконечно много значений $n$, для которых $BB(n) > f(n)$.# Колмогоровская сложность. $K(s)$ это длина минимальной программы, которая на пустом входе выводит строку $s$ и завершается. Докажите, что $K$ является невычислимой.# Пусть для любой строки $s$ выполнено $K(s) \ge f(s)$, где $f$ — всюду определенная вычислимая функция. Докажите, что найдется константа $C$, такая что $f(s) \le C$ для любой $s$.# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программу, которая выводит свой собственный код. Не используйте код из интернета, напишите сами. Языки программирования всех студентов в рамках одной группы должны быть различны.# Специальное задание: выберите нетривиальный язык программирования и напишите на нём программы, которые демонстрируют решение одного из заданий 172-175. В рамках одной группы пара (язык программирования - номер задания) должна быть уникальной. Выберите язык программирования, отличный от предыдущего задания.# Вещественное число $\alpha$ называется вычислимым, если существует вычислимая функция $a$, которая по любому рациональному $\varepsilon > 0$ даёт рациональное приближение к $\alpha$ с ошибкой не более $\varepsilon$, то есть $|\alpha − a(\varepsilon)| \le \varepsilon$ для любого рационального $\varepsilon > 0$. Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда множество рациональных чисел, меньших $\alpha$, разрешимо.# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда последовательность знаков представляющей его десятичной (или двоичной) дроби вычислима. Последовательность называется вычислимой, если существует программа, которая по номеру $i$ выдает соответствующий элемент последовательности $a_i$.# Докажите, что число $\alpha$ вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к $\alpha$ (последнее означает, что можно алгоритмически указать $N$ по $\varepsilon$ в стандартном $\varepsilon$-$N$-определении сходимости.)# Покажите, что сумма, произведение, разность и частное вычислимых вещественных чисел вычислимы. # Покажите, что корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.# Сформулируйте и докажите утверждение о том, что предел вычислимо сходящейся последовательности вычислимых вещественных чисел вычислим.# Вещественное число $\alpha$ называют перечислимым снизу, если множество всех рациональных чисел, меньших $\alpha$, перечислимо. (Перечислимость сверху определяется аналогично.) Докажите, что число $\alpha$ перечислимо снизу тогда и только тогда, когда оно является пределом некоторой вычислимой возрастающей последовательности рациональных чисел.# Докажите, что действительное число вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо снизу и сверху.# Докажите, что множество функций-приближений для рациональных вычислимых чисел $\alpha$ является неразрешимым. Указание: вспомните теорему о рекурсии.# Покажите, что существуют перечислимые снизу, но не вычислимые числа. Указание: рассмотрим сумму ряда $\sum 2^{-k}$ по $k$ из какого-либо множества $P$.# Приведите пример невычислимого предела сходящейся (но не вычислимо) последовательности вычислимых чисел# Приведите пример невычислимого предела вычислимо сходящейся (но не вычислимой) последовательности вычислимых чисел# Множество $A$ назвается эффективно бесконечным, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по числу $n$ выводит $n$ различных элементов множества $A$. Докажите, что если множество $A$ содержит бесконечное перечислимое подмножество, то оно эффективно бесконечно.# Докажите, что если множество $A$ эффективно бесконечно, то оно содержит бесконечное перечислимое подмножество.# Обозначим как $L(p)$ множество слов, которые допускается программой $p$. Множество $A$ назвается эффективно неперечислимым, если существует всюду определенная вычислимая функция $f$, которая по программе $p$ указывает слово $x$, такое что $x \in L(p) \oplus A$. Докажите, что дополнение к диагонали универсального множества $\overline D$, где $D = \left\{p | \langle p, p\rangle \in U\right\}$, является эффективно неперечислимым. # Докажите, что дополнение к универсальному множеству $\overline U$ является эффективно неперечислимым.# Докажите, что любое эффективно неперечислимое множество является эффективно бесконечным.# Множество называется иммунным, если оно бесконечно, но не содержит бесконечных перечислимых подмножеств. Перечислимое множество называется простым, если дополнение к нему иммунно. Докажите, что существует простое множество.# Докажите, что множество является иммунным тогда и только тогда, когда оно не содержит бесконечных разрешимых подмножеств.# Докажите, что машина Тьюринга без возможности записи на ленту, эквивалентна по вычислительной мощности конечному автомату.# Отберем у машины Тьюринга возможность перемещаться налево, но разрешим новую команду RESET, которая перемещает головку на первый символ входного слова. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только два раза: если значение в этой ячейке менялось уже дважды, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.# Пусть машине Тьюринга разрешено производить запись в каждую ячейку ленты только один раз: если значение в этой ячейке уже менялось, запрещается записывать туда другой символ. Докажите, что такая модификация не меняет вычислительной мощности машины Тьюринга.# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают больше языков, чем конечные автоматы.# Докажите, что счётчиковые машины с одним счётчиком распознают меньше языков, чем автоматы с одним стеком, даже детерминированные.# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим счётчикам хранить как положительные, так и отрицательные значения (сравнивать можно по прежнему только с нулём). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.# Модифицируем счётчиковую машину: разрешим на переходе сравнивать значение в счётчике не только с 0, но и с любым другим целым числом (общее число переходов должно быть конечно). Докажите, что получившаяся модель эквивалентна по вычислительной мощности обычной счётчиковой машине с тем же числом счётчиков.# Модифицируем счётчиковую машину: пусть зафиксировано число $b$ и разрешим счётчикам хранить только числа от $0$ до $b$. Какие языки распознают такие машины для различного числа счётчиков?# Стековая машина с бесконечным числом стеков. Пусть у стековой машины бесконечное число стеков и специальный счётчик, который показывает, какой стек сейчас анализируется. Функция переходов: $delta: Q \times (\Sigma \cup \varepsilon) \times \Pi \to {\cal P}_{<+\infty}\left( Q \times \Pi^* \times \{-1, 0, +1\}\right)$, где последний компонент результата функции указывает, что происходит с номером текущего стека. Докажите, что такая машина эквивалентна машине с двумя стеками.# Рассмотрим два множества $A$ и $B$. Назовём их вычислимо изоморфными, если существует всюду определенная вычислимая биекция $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, такая что $x \in A$ тогда и только тогда, когда $\varphi(x) \in B$. Приведите пример различных бесконечных вычислимо изоморфных множеств.# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных разрешимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных перечислимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.# Докажите или опровергните, что любые два бесконечных перечислимых не разрешимых множества, дополнения к которым также бесконечны, являются вычислимо изоморфными.# Существует ли множество натуральных чисел $A$, к которому m-сводится любое множество натуральных чисел?# Множество называется m-полным, если к нему m-сводится любое перечислимое множество. Докажите, что универсальное множество является $m$-полным.# Докажите, что диагональ универсального множества (множество $\{u | (u, u) \in U\}$ является m-полным.# Специальное задание. Автоматы Вольфрама. Рассмотрим клеточный автомат с двумя состояниями и $d = 1$. Пусть $n = 1$ и исходно нулевая клетка в состоянии $1$, а остальные клетки в состоянии $0$. Переходы автомата можно задать восемью битами: новым состоянием клетки для всех 8 возможных состояний клеткии её соседей. Можно нарисовать состояние всех клеток после каждого шага в виде двумерного изображения (см, например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_110 для правила 110). Выберите наиболее интересные по вашему мнению правила переходов. За эту задачу нельзя получить баллы, только насладиться интересными картинками.# Специальное задание. Игра "Жизнь" Конвея. Рассмотрим бесконечное клетчатое поле, каждая клетка может быть белой или черной. За один ход клетки перекрашиваются по следующему правилу: если у белой клетки ровно три из восьми черных соседа, она становится черной, иначе остаётся белой. Если у черной клетки 2 или 3 из 8 соседей черные, она остаётся черной, иначе она становится белой. Найдите в интернете симулятор игры жизнь и примеры интересных конфигураций. Поэкспериментируйте с ними. За эту задачу нельзя получить баллы, только насладиться интересными картинками.# Специальное задание. Язык FRACTRAN. Рассмотрим "программу", состоящую из $n$ дробей $\frac {a_i}{b_i}$. На каждом шаге есть текущее число $N$, находится минимальное $i$, что $\frac {N a_i}{b_i}$ - целое число, и $N$ умножается на $\frac {a_i}{b_i}$. Оказывается, такой язык Тьюринг-полон. Посмотрите на примеры программ и подумайте над тем, как просимулировать на нем что-то из того, что мы изучали на лекциях. За эту задачу нельзя получить баллы, только удивиться странному формализму.# Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим КС-грамматику с одним нетерминалом $S$, алфавитом $\Sigma'$ и $n + 1$ правилом: $S \to \alpha_1 S d_1$, $S \to \alpha_2 S d_2, \ldots, S \to \alpha_n S d_n$, $S \to \varepsilon$. Язык, порождаемый этой грамматикой, называется языком списка $A$ и обозначается как $L_A$. Опишите все слова языка $L_A$. # Докажите, что для любого списка $A$ дополнение до его языка списка $\overline{L_A}$ является КС-языком. Указание: постройте МП-автомат для $\overline{L_A}$.# Докажите, что проблема проверки пустоты пересечения двух КС-грамматик неразрешима.# Докажите, что проблема проверки эквивалентности двух КС-грамматик неразрешима.# Докажите, что проблема проверки, что язык заданной КС-грамматики совпадает с языком заданного регулярного выражения, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что любое слово можно породить в заданной КС-грамматике, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что язык одной заданной КС-грамматики входит в язык другой заданной КС-грамматики, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданного регулярного выражения входит в язык заданной КС-грамматики, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что язык заданной КС-грамматики содержит палиндром, неразрешима.# Пусть задано два списка $A$ и $B$. Докажите, что $\overline{L_A} \cup \overline{L_B}$ является регулярным тогда и только тогда, когда он совпадает с $\Sigma'^*$. Следовательно проблема проверки того, что КС-грамматика порождает регулярный язык, неразрешима.# Докажите, что проблема проверки того, что дополнение языка заданной КС-грамматики является КС-языком, неразрешима.# Односторонние исчисления. Рассмотрим конечный набор правил $P$ вида $\alpha \rightarrow \beta$. Будем говорить, что из слова $x$ выводится $y$ с помощью $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.# Двусторонние исчисления. Рассмотрим конечный алфавит $\Sigma$ и набор правил вида $\alpha \leftrightarrow \beta$. Будем говорить, что слова $x$ и $y$ эквивалентны с точностью до $P$, если можно получить $x$ из $y$, выполнив ноль или более раз замену подстроки $x$, совпадающей с $\alpha$ для некоторого правила на $\beta$ для этого правила или $\beta$ для некоторого правила на $\alpha$ для этого правила. Докажите, что множество троек $(P, x, y)$, где $x$ эквивалентен $y$ с точность до $P$ неразрешимо.# Докажите, существует конкретное множество правил одностороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где из $x$ выводится $y$ с помощью $P$ неразрешимо.# Докажите, существует конкретное множество правил двустороннего исчисления $P$, что для него множество пар $(x, y)$, где $x$ эквивалентно $y$ с точностью до $P$ неразрешимо. (Это задание можно переформулировать в терминах полугрупп так: докажите, что существует полугруппа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой полугруппе неразрешима)# Предыдущее задание можно обобщить на группы: докажите, что существует группа с конечным множеством образующих и конечным множеством соотношений, что проверка равенства слов в этой группе неразрешима. Отличие от предыдущего задания: вместе с каждым символом $c$ существует также символ $c^{-1}$ и соотношения $cc^{-1}\leftrightarrow\varepsilon$, $c^{-1}c\leftrightarrow\varepsilon$.
