Редактирование: Список заданий по ДМ 2к 2021 осень

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 105: Строка 105:
 
# Какое минимальное число ребер может быть в однозначно раскрашиваемом в $k$ цветов графе с $n$ вершинами?
 
# Какое минимальное число ребер может быть в однозначно раскрашиваемом в $k$ цветов графе с $n$ вершинами?
 
# Докажите, что существует такое $\alpha>1$, что у любого планарного графа c $n$ есть хотя бы $\alpha^n$ раскрасок в 5 цветов.
 
# Докажите, что существует такое $\alpha>1$, что у любого планарного графа c $n$ есть хотя бы $\alpha^n$ раскрасок в 5 цветов.
# Доказать или опровернгнуть: любое вершинное покрытие содержит как подмножество минимальное по мощности вершинное покрытие.
 
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \frac{n}{1+\Delta(G)}$.
 
# Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$.
 
# Как может поменяться $\alpha(G)$ при удалении ребра? Удалении вершины? Добавлении ребра?
 
# Верно ли, что для двудольного графа значение $\alpha(G)$ равно размеру максимальной доли?
 
# Докажите, что $G$ двудольный тогда и только тогда, когда для любого $H$ - подграфа $G$ выполнено $\alpha(H) \ge |VH|/2$ ($VH$ - множество вершин графа $H$).
 
# Докажите, что если в дереве расстояние между двумя любыми листьями четно, то в нем существует единственное максимальное по числу вершин независимое множество. Верно ли обратное?
 
# Зафиксируем $n$ и $k$. Рассмотрим граф, удовлетворяющий следующим условиям: (1) граф $G$ содержит $n$ вершин; (2) $\alpha(G) \le k$. Среди таких графов рассмотрим граф с минимальным числом ребер. Этот граф называется граф Турана. Докажите, что в графе Турана любые две смежные вершины имеют равную степень.
 
# Степень любых двух несмежных вершин в графе Турана отличается не более чем на $1$.
 
# Оцените, сколько ребер в графе Турана.
 
# Граф называется $\alpha$-критическим, если удаление любого ребра увеличивает $\alpha(G)$. Приведите пример $\alpha$-критического и не $\alpha$-критического графа.
 
# Докажите, что в любом дереве, кроме $K_2$ существует минимальное по числу вершин вершинное покрытие, включающее все вершины, соседние с листьями.
 
# Доминирующим множеством в графе называется множество вершин, такое что каждая вершина либо входит в это множество, либо имеет соседа в этом множестве. Докажите, что независимое множество вершин является максимальным по включению если и только если оно является доминирующим.
 
# Обозначим размер минимального доминирующего множества в графе как $\gamma(G)$. Как связаны $\alpha(G)$ и $\gamma(G)$?
 
# Докажите, что если в графе $G$ нет изолированных вершин, и $A$ - минимальное по включению доминирующее множество в $G$, то существует $B$, не имеющее общих вершин с $A$, также являющееся минимальным по включению доминирующим множеством в $G$.
 
# Обозначим размер минимального по мощности покрывающего множества в графе как $\beta(G)$. Как связаны $\gamma(G)$ и $\beta(G)$?
 
# Пусть $G$ - связный кубический граф, в котором не более двух мостов. Тогда в $G$ существует совершенное паросочетание.
 
# Приведите пример связного кубического графа, содержащего три моста, в котором нет совершенного паросочетания.
 
# $k$-факторизацией графа называется разбиение множество ребер графа на его $k$-факторы. Докажите, что $K_4$ имеет единственную 1-факторизацию.
 
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_6$.
 
# Найдите число $1$-факторизаций графа $K_{3,3}$.
 
# Найдите число $1$-факторов графа $K_{2n}$.
 
# Докажите, что граф $K_{6n-2}$ имеет 3-факторизацию.
 
# Докажите, что граф $K_{4n+1}$ имеет 4-факторизацию.
 
# Докажите, что граф $K_9$ представим в виде объединения 4 гамильтоновых циклов.
 
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Пусть $G'$ получен из $G$ удалением не более чем $k - 1$ ребер. Тогда $G'$ содержит совершенное паросочетание. Указание: используйте теорему Татта.
 
# Пусть $G$ - регулярный граф степени $k$ с четным числом вершин, причем $\lambda(G) \ge k-1$. Тогда для любого ребра $uv$ существует совершенное паросочетание, содержащее $uv$.
 
# Докажите, что если $G$ - регулярный граф четной степени, то у него есть 2-фактор.
 
# Пусть $r<k$ и хотя бы одно из них нечетно. Докажите, что существует $G$ - регулярный граф степени $k$, у которого нет $r$-фактора.
 
# Множество $S\subset V$, для которого $odd(G\setminus S)-|S|=def(G)$, называется барьером. $A(G)$ является барьером графа. Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является максимальным по включению барьером.
 
# Приведите пример графа, в котором $A(G)$ не является минимальным по включению барьером.
 
# Докажите, что пересечение двух максимальных по включению барьеров также является барьером.
 
# Пусть $x\in A(G)\cup C(G)$, $G'=G\setminus x$, $B'$ - барьер графа $G'$. Докажите, что $B=B'\cup x$ - барьер графа $G$. Следствие: любая вершина из $A(G) \cup C(G)$ входит в барьер графа $G$.
 
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, тогда $B\cap D(G)$ пусто и все компоненты $D(G)$ являются подмножествами нечетных компонент связности графа $G\setminus B$.
 
# Пусть $B$ - барьер графа $G$, причем $x \in B$. Тогда $B' = B \setminus x$ - барьер графа $G' = G \setminus x$.
 
# Докажите, что пересечение всех максимальных по включению барьеров $G$ равно $A(G)$.
 
# Лапой называется индуцированный подграф $K_{1, 3}$ - вершина (центр лапы) и три её соседа, не связанные между собой. Докажите, что если $B$ - минимальный по включению барьер $G$, то каждая вершина $B$ - центр лапы в $G$.
 
# Докажите, что если связный граф $G$ содержит четное число вершин и не содержит лапы, то он содержит совершенное паросочетание (Теорема Сумнера-Лас Вергнаса).
 
# Найдите математическое ожидание и дисперсию степени вершины в биномиальной модели $G(n, p)$.
 
# Равномерная модель $G(n, m)$ - каждый граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами равновероятен. Найдите математическое ожидание степени вершины в равномерной модели $G(n, m)$.
 
# Найдите дисперсию степени вершины в равномерной модели $G(n, m)$.
 
# Найдите вероятность, что граф в равномерной модели $G(n, m)$ является деревом ($m = n - 1$).
 
# Найдите вероятность, что граф в биномиальной модели $G(n, p)$ является деревом.
 
# Найдите вероятность, что граф в равномерной модели $G(n, m)$ является гамильтоновым циклом ($m = n$).
 
# Найдите вероятность, что граф в биномиальной модели $G(n, p)$ является гамильтоновым циклом.
 
# Оцените центральный биномиальный коэффициент ${2n \choose n}$ снизу величиной порядка $c \frac {4^n}{\sqrt{n}}$, используя формулу Стирлинга.
 
# Рассмотрим число ребер $m$, такое что $m(n) \to \infty$ и ${n \choose 2} - m(n) \to \infty$, а также $p(n) = \frac {m(n)}{n \choose 2}$. Докажите, что вероятность того, что $G(n, p)$ имеет ровно $m$ ребер есть $\Omega(m^{-0.5})$.
 
# Рассмотрим свойство $A$, а и такие же $m(n)$ и $p(n)$, как в предыдущей задаче. Докажите, что $P(G(n, m) \in A) \le C \sqrt{m} P(G(n, p) \in A)$.
 
# Рассмотрим следующую модель генерации случайного графа. Сначала проведем каждое ребро с вероятностью $\frac 12$. Затем, для каждой пары вершин, между которыми не было проведено ребро на первом шаге, проведем ребро с вероятностью $\frac 13$. Предложите более простое описание этой модели в терминах моделей Эрдёша-Реньи.
 
# Свойство случайного графа называется, монотонным, если оно сохраняется при добавлении ребра. Рассмотрим монотонное свойство $A$ при фиксированном размере графа $n$. Докажите, что $P(G(n, p) \in A)$ возрастает при возрастании $p$.
 
# Придумайте такое свойство, что вероятность, что $G(n, \frac 12)$ обладает этим свойством, стремится к $\frac 14$.
 
# Придумайте такое свойство, что вероятность, что $G(n, \frac 12)$ обладает этим свойством, стремится к $\frac 13$.
 
# Пусть для некоторого свойства $A$ существует две функции $p_1(n)$ и $p_2(n)$, что для графа $G(n, p_1(n))$ свойство $A$ а.п.н. не выполняется, а для $G(n, p_2(n))$ свойство $A$ а.п.н. выполняется. Докажите, что существует функция $\tilde p(n)$, что для случайного графа $G(n, \tilde p(n))$ свойство $A$ выполняется с вероятностью, стремящейся к $\frac 12$.
 
# Подберите $p(n)$ и приведите последовательности случайных величин $X_n$ для $G(n, p)$, что $EX_n \to \infty$, но $\mathcal{P}(X_n = 0) \nrightarrow 0$.
 
# Докажите, что $G(n, \frac {2\ln n}{n})$ а.п.н. не содержит вершин степени 0.
 
# Рассмотрим модель случайного двудольного графа $G(n, n, p)$: из полного двудольного графа $K_{n,n}$ каждое ребро удаляется с вероятностью $1 - p$. Пусть $X$ -- количество изолированных вершин первой доли. Найдите $EX$ и $DX$.
 
# Докажите, что если $p = o(n^{-1.5})$, то $G(n, p)$ а.п.н. является объединением компонент связности размера 1 и 2.
 
# Докажите, что если $p = \omega(n^{-1.5})$, то $G(n, p)$ а.п.н. содержит путь длины 2.
 
# Пусть $p = o(n^{-\frac 23})$. Докажите, что а.п.н. $G(n, p)$ не содержит $K_4$.
 
# Пусть $p = o(\frac 1n)$ и $k$ -- константа. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит цикл длины $k$.
 
# Пусть $p = \omega(\frac 1n)$ и $k$ -- константа. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. содержит цикл длины $k$.
 
# Пусть $p = o(\frac 1n)$. Покажите, что $G(n, p)$ а.п.н. не содержит циклов.
 
# Покажите, что матожидание количества остовных деревьев у графа $G(n, \frac {2\ln n}{n})$ стремится к бесконечности. Можно ли это считать доказательством а.п.н. связности графа $G(n, \frac {2\ln n}n)$?
 
# Покажите, что матожидание количества остовных деревьев у графа $G(n, \frac {\ln n}{2n})$ стремится к бесконечности.
 
# Найдите матожидание количества индуцированных подграфов $G(n, \frac dn)$, $d > 1$, которые являются путем длины $k = \sqrt{\log n}$.
 
# Для каких $p$ граф $G(n, p)$ а.п.н. не содержит $K_k$ (надо привести пороговую асимптотику)?
 
# Пусть $p = \frac dn$. Докажите, что в $G(n, p)$ каждая вершина а.п.н. принадлежит не более, чем одному треугольнику.
 
# Докажите, что в $G(n, \frac 12)$ а.п.н. не существует независимого множества размера $2 \log_2 n$
 
# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ матожидание количества независимых множеств размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$ стремится к $\infty$.
 
# Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ в $G(n, \frac 12)$ а.п.н. существует независимое множество размера $(2 - \varepsilon) \log_2 n$.
 
# Найдите пороговую асимптотику, что граф $G(n, p)$ является эйлеровым или докажите, что её не существует
 
# Докажите, что если $k = \frac{\log n}{\log\log n}$, то $k! \le n$.
 
# Покажите, что в первой доле случайного двудольного графа $G(n, n, 1/n)$ с вероятностью, не стремящейся к нулю, существует вершина степени $\frac{\log n}{\log \log n}$.
 
# Зачем условие двудольности в предыдущей задаче? Покажите, что его можно убрать, в случайном графе $G(n, 1/n)$ с вероятностью, не стремящейся к нулю, существует вершина степени $\frac{\log n}{\log \log n}$.
 
# Докажите, что $G(n, 1/n)$ а.п.н. не содержит вершины степени больше $\frac{6\log n}{\log \log n}$. Указание, используйте приближение биномиального распределения Пуассоном и факт, что $k! \ge (k/e)^k$.
 
# Пусть $p = \frac dn$. Что можно сказать про наличие циклов в $G(n, p)$ в зависимости от $d$?
 
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = \omega(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
 
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = o(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. не содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
 
# Пусть $p = \frac{\ln n + c}{n}$. Какой предел вероятности, что у $G(n,p)$ ровно $k$ изолированных вершин?
 
# Петя пытается спрятать в случайном графе клику размера $k$. Он берет граф с $n$ вершинами, $k$ из которых образуют клику, а остальных ребер нет, после чего проводит каждое из оставшихся ребер с вероятностью $1/2$. Вася хочет найти спрятанную Петей клику - выяснить, какие вершины ее образовывали. Для этого он выбирает $k$ вершин максимальной степени. Докажите, что если $k = \omega(\sqrt{n \ln n})$, то Вася а.п.н. найдет спрятанную Петей клику.
 
# Задача о наибольшем общем подграфе. Рассмотрим два графа, выбранных из распределения $G(n, 1/2)$. Найдем их общий индуцированный подграф размера $k$: выберем в каждом графе по $k$ вершин, оставим все ребра между ними, получившиеся графы должны быть изоморфны. Докажите, что наибольший общий подграф двух графов а.п.н. имеет размер не больше $4 \log_2 n$.
 
# Напишите генератор графов $G(n, p)$ на вашем любимом языке программирования и примените в этом и последующих заданиях. Проведите численные эксперименты с генератором для различных значений $n$ и $p$, соотнесите результаты с теорией, которую вы узнали на лекциях. В качестве ответа на задание продемонстрируйте графики зависимости вероятности от $p$, другие результаты численных экспериментов, можно также запускать программу с демонстрацией результатов запуска на проекторе. Проанализируйте появление треугольников для $p=\frac cn$ в зависимости от константы $c$.
 
# Продемонстрируйте появление свойства ""диаметр 2"" при $p=\sqrt{2 \ln n/n}$.
 
# Проанализируйте исчезновение изолированных вершин и появление связности на одном графике.
 
# Постройте матроид с 4 элементами и 5 базами. Укажите множество циклов этого матроида.
 
# Постройте матроид с 5 элементами и 12 базами.
 
# Матроид с выброшенным элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые не содержали $x$. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A | A \in I, x \notin A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
 
# Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются независимые множества исходного матроида, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
 
# Докажите, что если $x \ne y$, то $M\setminus x/y=M/y\setminus x$
 
# Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
 
# Прямая сумма матроидов. Пусть $X$ и $Y$ - непересекающиеся множества, $M_1$ - матроид с носителем $X$ и $M_2$ - матроид с носителем $Y$. Построим новый матроид, назовем носителем объединение $X \cup Y$, независимыми объявим множества, которые являются объединением независимого из $M_1$ и независимого из $M_2$. Докажите, что прямая сумма матроидов является матридом.
 
# Представьте разноцветный матроид в виде прямой суммы универсальных матроидов.
 
# Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
 
# Являются ли паросочетания в полном графе семейством независимых множеств некоторого матроида?
 
# Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
 
# Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксиомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
 
# Пусть $M$ - предматроид. Как и в матроиде будем называть базой множества максимальное по включению подмножество из $I$. Докажите, что если для каждого множества $A$ все его базы равномощны, то $M$ - матроид.
 
# Для каких универсальных матроидов существует изоморфный ему матричный матроид?
 
# Проекция матроида. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид, $f : X \to Y$ - произвольная функция. Обратите внимание, что нет необходимости, чтобы $f$ была инъекцией или сюрьекцией. Построим конструкцию $f(M)$ как пару из носителя $Y$ и семейства множеств $f(I) = \{ f(A) \,|\, A \in I\}$. Докажите, что $f(M)$ является матроидом.
 
# Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
 
# Дайте альтернативное определение параллельных элементов на языке баз.
 
# Докажите, что отношение "быть параллельными" является транзитивным.
 
# (для 34-35) Как устроено замыкание в графовом матроиде?
 
# (для 34-35) Как устроено замыкание в матричном матроиде?
 
# Докажите, что если $A$ независимо, то для любого $p \in A$ выполнено $p \not\in \langle A \setminus p\rangle$.
 
# Докажите, что если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$.
 
# Докажите, что $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$
 
# Докажите, что если $q \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$
 
# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую конструкцию: $M^* = \langle X, \{A \,|\, \exists B $ - база $M,  A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
 
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом.
 
# Докажите, что двойственный к матричному матроид изоморфен матричному для некоторой матрицы. Как устроена его матрица?
 
# В этой и следующих задача граф для графового матроида может содержать кратные ребра. Докажите, что двойственный к графовому матроиду колеса $C_4 + K_1$ изоморфен графовому для некоторого графа
 
# Докажите, что двойственный к графовому матроиду графа $K_{2, 3}$ изоморфен графовому для некоторого графа
 
# Докажите, что двойственный матроид к графовому на $K_5$ не изоморфен графовому ни для какого графа.
 
# Докажите, что двойственный матроид к графовому на $K_{3,3}$ не изоморфен графовому ни для какого графа.
 
# Когда двойственный к графовому матроид изоморфен графовому для некоторого графа?
 
# Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k  \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
 
# Сверхсильная теорема о базах. Докажите, что для любых двух различных баз $A$ и $B$ и элемента $x \in A \setminus B$ найдётся $y \in B \setminus A$, так что $A \setminus x \cup y$ и $B \setminus y \cup x$ обе являются базами.
 
# Доказать, что $M^{**}=M$
 
# Один студент считает, что xor двух циклов обязательно содержит цикл. Доказать или опровергнуть.
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)