210
правок
Изменения
Новая страница: «# Постройте граф с $n$ вершинами, $m$ ребрами и $k$ компонентами связности. Здесь и далее """"по…»
# Постройте граф с $n$ вершинами, $m$ ребрами и $k$ компонентами связности. Здесь и далее """"постройте граф с $n$ вершинами, ..."""" означает, что вы должны рассказать способ для любого $n$ построить искомый граф, либо рассказать, для каких $n$ такой граф существует и указать способ его построить, а для остальных $n$ доказать, что такого графа не существует. Аналогично следует поступить с другими параметрами, указанными в условии задачи.
# Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$. Опишите все такие графы. Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$. Опишите все такие графы.
# Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
# Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
# Докажите, что в графе число вершин нечетной степени четно. Докажите, что если в графе ровно две вершины нечетной степени, то они лежат в одной компоненте связности.
# Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
# В графе $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ равны тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$. Что можно сказать про граф $G$?
# Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
# Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения. Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
# Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на простом цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
# Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
# Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
# Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
# Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
# Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
# Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
# Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями. Приведите пример графа, что ни он, ни его дополнение не связаны путями длины не больше 2.
# Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
# Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
# Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
# Докажите или опровергните, что в связном графе все простые пути, имеющие максимальную возможную длину в этом графе, имеют общую вершину.
# Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$. Опишите все такие графы. Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$. Опишите все такие графы.
# Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
# Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
# Докажите, что в графе число вершин нечетной степени четно. Докажите, что если в графе ровно две вершины нечетной степени, то они лежат в одной компоненте связности.
# Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
# В графе $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ равны тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$. Что можно сказать про граф $G$?
# Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
# Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения. Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
# Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на простом цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
# Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
# Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
# Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
# Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
# Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
# Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
# Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями. Приведите пример графа, что ни он, ни его дополнение не связаны путями длины не больше 2.
# Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
# Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
# Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
# Докажите или опровергните, что в связном графе все простые пути, имеющие максимальную возможную длину в этом графе, имеют общую вершину.
