Изменения

# Пусть $<math>R$ </math> и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.

# Раскрашенные деревья. Выведите формулу для числа подвешенных деревьев с $n$ вершинами без порядка на детях, раскрашенных в $k$ цветов.# Раскрашенные деревья. Выведите формулу для числа подвешенных деревьев с $n$ вершинами с порядком на детях, раскрашенных в $k$ цветов.# Коды Прюфера. Рассмотрим процедуру для помеченного неподвешенного дерева. Будем по очереди выбирать лист, помеченный минимальным числом и удалять его из дерева, выписывая число в вершине, с которой он был связан. Таким образом будет выписано $n - 1$ число, последнее выписанное число всегда $n$. Докажите, что различным деревьям соответствуют различные коды Прюфера.# Докажите, что любой код Прюфера соответствует некоторому дереву. Предложите алгоритм восстановления дерева по коду Прюфера. Сделайте вывод о числе помеченных неподвешенных деревьев с $n$ вершинами.# Пусть 2 - множество из двух различных элементов, каждый из которых имеет вес 1. Можно условно называть их черный и белый. Что представляет собой $Seq(2)$? Посчитайте число элементов для него, в зависимости от веса.# Что представляет собой $Set(2)$? Посчитайте число элементов для него, в зависимости от веса.# Что представляет собой $MSet(2)$? Посчитайте число элементов для него, в зависимости от веса.# Что представляет собой $Cycle(2)$? Посчитайте число элементов для него, в зависимости от веса.# Пусть $F$ - множество из двух различных элементов, один из которых имеет вес 1, а другой - 2. Можно условно называть их маленький и большой. Что представляет собой $Seq(F)$? Посчитайте число элементов для него, в зависимости от веса.# Что представляет собой $Set(F)$? Посчитайте число элементов для него, в зависимости от веса.# Что представляет собой $MSet(F)$? Посчитайте число элементов для него, в зависимости от веса.# Что представляет собой $Cycle(F)$? Посчитайте число элементов для него, в зависимости от веса.# Пусть $A$ - комбинаторные объекты. Выведите формулу для числа элементов в зависимости от веса для $Pair(Seq(A), Seq(A))$.# Пусть $A$ - комбинаторные объекты. Обозначим как $Seq^+(A)$ множество непустых последовательностей из элементов $A$. Выведите рекуррентную формулу для числа элементов в зависимости от веса для $Seq^+(Seq^+(A))$.# Пусть $A$ - комбинаторные объекты. Обозначим как $Seq^1(A) = Seq^+(A)$, $Seq^k(A) = Seq^+(Seq^{k-1}(A))$. Выведите рекуррентную формулу для числа элементов в зависимости от веса для $Seq^k(A)$.# Разбиения на множества. Проинтерпретируйте разбиения $n$-элементного множества на $k$ множеств как конструируемый помеченный комбинаторный объект. Получите альтернативную рекуррентную формулу для чисел Стирлинга 2 рода.# Разбиения на циклы. Проинтерпретируйте разбиения $n$-элементного множества на $k$ циклов как конструируемый помеченный комбинаторный объект. Получите альтернативную рекуррентную формулу для чисел Стирлинга 1 рода.# Будем называть граф циклическим мультибамбуком, если он устроен следующим образом: есть цикл, из каждой вершины которого выходит путь. Предложите способ посчитать непомеченные циклические мультибамбуки.# Предложите способ посчитать помеченные циклические мультибамбуки.# Подсчет помеченных унициклических графов. Граф называется унициклическим, если он содержит ровно один цикл. Предложите способ подсчета помеченных унициклических графов.# Подсчет помеченных двудольных графов. Граф называется двудольным, если его вершины можно разбить на два множества, таких что ребра соединяют только вершины различных множеств. Сколько существует помеченных двудольных графов?# Подсчет помеченных связных двудольных графов. Сколько существует помеченных связных двудольных графов? = ЭТО НЕ КОНЕЦ, ЭТО ЕЩЕ ТОЛЬКО НАЧАЛО =