Изменения
Нет описания правки
# Докажите, что число способов расставить числа от 1 до $2n$ в прямоугольник $2 \times n$, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце возрастали, равно числу Каталана.
# Матрица Ханкеля - матрица $n \times n$, такая что $a[i][j] = C_{i+j-2}$. Докажите, что определитель матрицы Ханкеля равен 1.
# Факториальная система счисления. Рассмотрим систему счисления, где бесконечно много цифр, в $i$-м разряде (нумерация разрядов с 1 от младшего к старшему) разрешается использовать цифры от 0 до $i$, вес $i$-го разряда $i!$. Докажите, что у каждого положительного числа ровно одно представление в факториальной системе счисления (с точностью до ведущих нулей). Предложите алгоритм перевода числа в факториальную систему счисления.
# Как связана факториальная система счисления и нумерация перестановок?
# Фибоначчиева система счисления. Рассмотрим систему счисления, где есть две цифры, 0 и 1. Пусть нумерация разрядов ведется с 1 от младшего к старшему, вес $i$-го разряда $F_i$, где $F_i$ - $i$-е число Фибоначчи ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, нулевой разряд не используется). При этом запрещается исползовать две единицы в соседних разрядах. Сколько представлений в Фибоначчиевой системе счисления у положительного числа $x$? Предложите алгоритм перевода числа в фибоначчиеву систему счисления.
# Свяжите фибоначчиеву систему счисления с нумерацией каких-либо комбинаторных объектов.
# Укажите способ подсчитать число разбиений заданного $n$-элементного множества на $k$ упорядоченных непустых подмножеств (например, для $n = 3$, $k = 2$ есть следующие разбения: $\{[1], [2, 3]\}$, $\{[1], [3, 2]\}$, $\{[1, 2], [3]\}$, $\{[1, 3], [2]\}$, $\{[2, 1], [3]\}$, $\{[2], [3, 1]\}$.
# Подъемом в перестановке называется пара соседних элементов, таких что $a_{i-1} < a_i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ подъемами
# Неподвижной точкой в перестановке называется элемент $a_i = i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ неподвижными точками
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетное число слагаемых
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на различные слагаемые
# Предложите алгоритм подсчета количества разбиений числа $n$ на слагаемые за $O(n\sqrt{n})$.
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $a+ib$, где $a$ и $b$ целые неотрицательные числа, на комплексные слагаемые вида $c + id$, где $c$ и $d$ целые неотрицательные числа, хотя бы одно из которых положительно.
# Раскрашенные слагаемые. Будем называть разбиение числа $n$ на положительные слагаемые раскрашенным, если каждому слагаемому сопоставлен один из $k$ заданных цветов. Два разбиения считаются одинаковыми, если слагаемые в одном из них можно переставить так, чтобы получилось другое разбиение (цвета после перестановки тоже должны совпасть). Выведите рекуррентную формулу для числа раскрашенных разбиений числа $n$ на слагаемые
# Разноцветные слагаемые. Будем называть разбиение числа $n$ на положительные слагаемые разноцветным, если каждому слагаемому сопоставлен один из $k$ заданных цветов, причем одинаковым числам в разбиении не сопоставляются одинаковые цвета. Два разбиения считаются одинаковыми, если слагаемые в одном из них можно переставить так, чтобы получилось другое разбиение (цвета после перестановки тоже должны совпасть). Выведите рекуррентную формулу для числа разноцветных разбиений числа $n$ на слагаемые
