Изменения
Нет описания правки
# 🤔✋ Транзитивный остов. Задано антисимметричное транзитивное отношение $R$ на $X$. Предолжите полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S^+=R$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов.
# 🤔 В предыдущем задании требование транзитивности опустить нельзя. Задано антисимметричное отношение $R$ на $X$. Докажите, что если существует полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S \subset R$ и $S^+=R^+$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов, то можно проверить, есть ли в графе гамильтонов цикл (цикл, проходящий по каждой вершине графа ровно один раз) за полиномиальное время.
# СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через стрелку Пирса
# Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через штрих Шеффера
# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и", "или", "не" - пороговые функции.
# Приведите пример непороговой функции
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\to y, {\mathbf 0}}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{\langle xyz\rangle, \neg x\}$?
# Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$?
# Можно ли выразить "и" через "или"?
# Выразите медиану 5 через медиану 3
# 🤔 Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
# 🤔 Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
# 🤔✋ Говорят, что формула имеет вид 2-КНФ, если она имеет вид $(t_{11}\vee t_{12})\wedge(t_{21}\vee t_{22})\wedge\ldots$, где $t_{ij}$ представляет собой либо переменную, либо ее отрицание (в каждом дизъюнкте ровно два терма). Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в 2-КНФ имеет набор значений переменных, на которых она имеет значение 1.
# 🤔✋ КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
