Изменения
Нет описания правки
# Постройте КС-грамматику, описывающие академические регулярные выражения над алфавитом $\{0, 1\}$.
# КС грамматика называется линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал. Праволинейные грамматики, в которых этот нетерминал находится на последнем месте, порождают регулярные языки. Приведите пример линейной грамматики, которая порождает нерегулярный язык.
# КС грамматика называется леволинейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится на первом месте. Докажите, что язык можно породить леволинейной грамматикой тогда и только тогда, когда он регулярный."
# КС грамматика называется смешанной линейной, если в правых частях правил встречается максимум один нетерминал, причем если он есть, то находится либо на первом, либо на последнем месте. Докажите, что существует КС язык, не являющийся регулярным, который можно породить смешанной линейной грамматикой.
# Постройте КС-грамматику для описаний КС грамматик.
# Приведите пример КС-языка, не являющегося регулярным, дополнение к которому также является КС.
# Приведите пример двух КС-языков, не являющихся регулярными, пересечение которых также является КС, но не регулярным, причем отлично от обоих пересекаемых языков.
# Предложите алгоритм проверки, что в грамматике выводится хотя бы одно слово.
# Предложите алгоритм нахождения слова минимальной длины, выводящегося в заданной грамматике.
# Грамматика называется леворекурсивной, если найдется такой нетерминал A, что за один или более шаг из A можно вывести строку, которая начинается с A ($A \Rightarrow^+ A\alpha$). # Предложите алгоритм, который проверяет, является ли грамматика леворекурсивной.
# Предложите алгоритм проверки, что в заданная КС грамматика в НФХ порождает конечное число слов.
# Предложите алгоритм, который, получает на вход КС грамматику в НФХ, про которую с помощью алгоритма из предыдущего задания выяснили, что она порождает конечное число слов. На выход необходимо выдать самое длинное слово, которое порождается этой КСГ.
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет цепные правила, а затем eps-правила. Будет ли корректно работать алгоритм?
# Билл поменял местами шаги алгоритма приведения КСГ к НФХ: он сначала удаляет eps-правила, а затем длинные правые части. Можно ли поправить алгоритм удаления eps-правил, чтобы он работал с длинными правыми частями? Чем эта версия алгоритма хуже оригинальной?
# Алиса разработала свою нормальную форму грамматики, в которой каждое правило имеет вид $A \to BC$, $A \to B$ или $A \to c$. Как обобщить алгоритм КЯК на грамматики в такой форме? Сравните получившийся алгоритм с оригинальным.
# Рассмотрим дерево разбора некоторого слова в грамматике в НФХ. Как соотносятся количество нетерминалов и терминалов в дереве?
# Докажите, что язык не является КС: $0^i1^j2^k$, $i<j<k$.
# Докажите, что язык не является КС: $0^n1^n2^k$, $k<n$.
# Докажите, что язык не является КС: $0^p$, $p$ простое.
# Докажите, что язык двоичных записей простых чисел не является КС.
# Докажите, что язык не является КС: $0^i1^j$, $j=i^2$.
# Докажите, что язык не является КС: $0^n1^n2^k$, $n<k<2n$.
# Докажите, что язык не является КС: $ww^Rw$, $w$ - строка из 0 и 1, $w^R$ - развернутая строка $w$.
# Докажите, что язык $\{0^n1^m2^n3^m\}$ не является КС.
# Докажите, что язык $\{0^n1^m2^n| n \ne m\}$ не является КС.
# Верно ли, что любой КС-язык над односимвольным алфавитом является регулярным?
# Рассмотрим несколько неправильных модификаций леммы о разрастании для КС-языков. Для каждой модификации придумайте КС-язык, который не удовлетворяет этой лемме. Для КС-языка $L$ существует число $n$, что любое слово $w \in L$, $|w| \ge n$ можно разбить на четыре части $w = uvyz$, где $|vy| \le n$, $vy \neq \varepsilon$ что для любого $k \ge 0$, $uv^ky^kz \in L$.
# Для КС-языка $L$ существует число $n$, что любое слово $w \in L$, $|w| \ge n$ можно разбить на четыре части $w = vxyz$, где $|vxy| \le n$, $vy \neq \varepsilon$, что для любого $k \ge 0$, $v^kxy^kz \in L$.
# Докажите, что следующая модификация леммы о разрастании верна: Для КС-языка $L$ существует число $n$, что любое слово $w \in L$, $|w| \ge n$ можно разбить на пять частей $w = uvxyz$, где $|vxy| \le n$, $v \neq \varepsilon$, $y \neq \varepsilon$ что для любого $k \ge 0$, $uv^kxy^kz \in L$.
# Постройте МП-автомат для языка слов, где число нулей равно числу единиц.
# Постройте МП-автомат для языка $0^n1^{2n}$.
# Постройте МП-автомат для языка $0^n1^m2^{n+m}$.
# Постройте МП-автомат для языка $0^{2n}1^n$.
# Постройте МП-автомат для языка $0^n1^n\cup0^n1^{2n}$.
# Постройте МП-автомат для языка слов $0^n1^m$, где $n \le m \le 2n$.
# Докажите, что для любых $p$ и $q$ существует МП-автомат для языка слов $0^n1^m$, где $n/m=p/q$
# Постройте автомат с магазинной памятью для языка слов над алфавитом $\{0, 1, 2\}$, которые содержат равное число двоек и равное число единиц, или равное число двоек и равное число нулей.
# Рассмотрим список слов $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ над алфавитом $\Sigma$. Введем $n$ новых различных символов $d_1, d_2, \ldots, d_n$. Рассмотрим алфавит $\Sigma' = \Sigma \cup \{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$. Рассмотрим язык списка $A$, обозначаемый как $L_A$, в который входят все слова вида $\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\ldots\alpha_{i_k}d_{i_k}d_{i_{k-1}}\ldots d_{i_1}$. Докажите, что для любого списка $A$ язык $L_A$ является контекстно-свободным.
# Докажите, что дополнение к языку списка $L_A$ является контекстно-свободным для любого списка $A$.
# Можно неправильно определить язык списка $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ из предыдущего задания, составив его из слов вида $\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\ldots\alpha_{i_k}d_{i_1}d_{i_2}\ldots d_{i_k}$. Докажите или опровергните, что при таком неправильном определении язык списка все еще будет конткстно-свободным для любого списка $A$.
# Предложите алгоритм проверки, что МП-автомат допускает заданное слово.
# Назовем состояние МП-автомата бесполезным, если автомат не может перейти в него ни при каком входном слове. Предложите алгоритм проверки состояния МП-автомата на бесполезность.
# Предложите алгоритм проверки, что МП-автомат допускает хотя бы одно слово, содержащее заданное в качестве подстроки.
# Предложите алгоритм проверки, что МП-автомат допускает бесконечное число слов.
# Пусть $f : \Sigma \to \Sigma^*$ - функция, сопоставляющая каждому символу некоторую строку. Распространим $f$ на слова следующим образом: $f(c_1c_2\ldots c_k) = f(c_1)f(c_2)\ldots f(c_k)$. Обозначим как $f(L)$ множество слов $f(x)$ для всех $x \in L$. Докажите или опровергните, что если $L$ - КС, то $f(L)$ также КС.
# Пусть $f : \Sigma \to \Sigma^*$ - функция, сопоставляющая каждому символу некоторую строку. Распространим $f$ на слова следующим образом: $f(c_1c_2\ldots c_k) = f(c_1)f(c_2)\ldots f(c_k)$. Обозначим как $f^{-1}(L)$ множество таких слов $x$, для которых $f(x) \in L$. Докажите или опровергните, что если $L$ - КС, то $f^{-1}(L)$ также КС.
