Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Список заданий по ДМ 2021 весна

19 277 байт добавлено, 18:40, 14 апреля 2021
Нет описания правки
# Петя и Вася играют в игру. Они бросают честную монету, и выписывают результаты бросков. У каждого из игроков есть критерий победы, выигрывает тот, чей критерий наступит раньше. Петя выигрывает в тот момент, когда результаты последних трех бросков равны 001. Какую строку длины 3 оптимально выбрать Васе, чтобы его вероятность выигрыша была максимальна?
# Предложите решение предыдущей задачи для произвольной выигрышной строки Пети (за полином от длины этой строки).
# Серия «парадоксы теории вероятности». Мы предлагаем попытаться решать задачи этой серии самостоятельно, а не с помощью интернета, потому что они, конечно, там подробно разобраны. Парадокс Монти Холла. Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
# Парадокс трёх заключённых. Трое заключённых, A, B и С, заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключённый A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключённого, кто точно будет казнён: «Если B помилован, скажи мне, что казнён будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнён будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи имя B или C». Стражник говорит заключённому A, что заключённый B будет казнён. Заключённый A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала 1/2, а не 1/3, как была до этого. Заключённый A тайно говорит заключённому С, что B будет казнён. Заключённый С также рад это слышать, поскольку он всё ещё полагает, что вероятность выживания заключённого А — 1/3, а его вероятность выживания возросла до 2/3. Как такое может быть?
# Нетранзитивные кости. Набор игральных костей нетранзитивен, если он состоит из трёх игральных костей A, B и C, для которых результат бросания кости A с вероятностью свыше 50% больше результата бросания кости B, результат бросания кости B с вероятностью свыше 50% больше результата бросания кости C, однако утверждение о том, что результат бросания кости A с вероятностью свыше 50% больше результата бросания кости C, является ошибочным. Постройте набор нетранзитивных костей.
# Усиленные нетранзитивные кости. Постройте набор из $n$ костей, в котором для любой кости есть другая, для которой с вероятностью свыше 50% будет получено большее число.
# Парадокс Берксона. Два независимых события могут становиться зависимыми, если произошло некоторое событие. Придумайте три события $A$, $B$ и $C$, такие что $A$ и $B$ независимы, но $A \cap C$ и $B \cap C$ зависимы после замены вероятностного пространства на $C$ и новой дискретной плотности вероятности $p_C(x) = p(x) / P(C)$.
# Парадокс дружбы — феномен, состоящий в том, что, как правило, у большинства людей друзей меньше, чем в среднем у их друзей. Прокомментируйте парадокс дружбы.
# Парадокс коробок Бертрана. Есть три коробки: первая содержит две золотых монеты, вторая содержит две серебряные монеты, третья содержит одну золотую и одну серебряную монету. После выбора случайной коробки и случайной монеты из нее, выбранная монета оказалась золотой. Какова вероятность того, что вторая монета в выбранной коробке также золотая?
# Парадокс Симпсона. Придумайте 4 дроби: $m_1/n_1$, $m_2/n_2$, $m_3/n_3$, $m_4/n_4$, чтобы выполнялось $m_1/n_1 < m_2/n_2$, $m_3/n_3 < m_4/n_4$ но $(m_1+m_3)/(n_1+n_3)>(m_2+m_4)/(n_2+n_4)$.
# Санкт-Петербургский парадокс. Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму $s$, а затем подбрасывает честную монету, пока не выпадет 1. При выпадении 1 игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если 1 выпала на $i$-м броске, игрок получает $2^i$. Для какой максимальной суммы $c$ есть смысл играть в эту игру?
# Парадокс галустков. Двое мужчин дарят друг другу на Рождество галстуки, купленные их жёнами. За напитками они начинают спорить, у кого галстук дешевле. Они приходят к тому, чтобы заключить пари — они будут консультироваться со своими жёнами и выяснят, какой галстук дороже. Условия пари в том, что человек с более дорогим галстуком должен отдать его проигравшему как утешительный приз. Первый человек рассуждает следующим образом: «Победа и поражения одинаково вероятны. Если я выиграю, я потеряю стоимость моего галстука. Но если я выиграю, то я выиграю больше, чем стоимость моего галстука. Поэтому шансы в мою пользу». Второй человек считает условия пари точно такими же, и, как ни парадоксально, кажется, оба мужчины имеют преимущество в этом пари.
# Парадокс двух конвертов. Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму $X$. В чужом конверте равновероятно может находиться $2X$ или $\frac{X}{2}$. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет $\left(2X+\frac{X}{2}\right)/2 = \frac54X$, то есть больше, чем сейчас. Значит, обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
# Пусть в парадоксе двух конвертов в качестве распределения используется следующее: с вероятностью $\frac{2^n}{3^{n+1}}$ в конверты помещаются суммы $2^n$ и $2^{n+1}$. Покажите, что в этом случае при обмене обмена вероятность получить $2X$ равна $1$, если игрок видит сумму $X=1$ и $\frac{11}{10}X$ в случае $X > 1$. Таким образом обмен выгоден в любом случае. Как такое возможно?
# Пусть $L$ - формальный язык. Докажите, что $(L^*)^* = L^*$
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = R^* \cup S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cap S)^* = R^* \cap S^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Докажите или опровергните, что $(R \cup S)^* = (R^*S^*)^*$.
# Пусть $R$ и $S$ - языки. Обозначим как $RS$ язык слов, представимых в виде конкатенации слова из $R$ и слова из $S$ (в этом порядке). Докажите или опровергните, что $(R\cup S)T=RT \cup ST$, $(R\cap S)T=RT \cap ST$.
# Пусть $L$ - язык. Обозначим как $Lc$ язык, который получается из $L$ дописыванием в конец каждому слову символа $c$. Обозначим как $Lc^{-1}$ язык, который получается из $L$ откидыванием всех слов, которые не заканчиваются на $c$, а затем у оставшихся слов откидыванием конечного символа $c$. Докажите или опровергните, что $(Lc)c^{-1}=L$, $(Lc^{-1})c=L$.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число единиц не кратно 3.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых встречается подпоследовательность 001.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд. Сделайте вывод из двух последних заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три единицы подряд. Сделайте вывод из двух последних заданий.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых третий символ с конца равен последнему символу.
# Запишите регулярное выражение для слов над бинарным алфавитом, содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражение для слов над бинарным алфавитом, содержащих не более одного места, где встречаются два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражение для слов над бинарным алфавитом, не содержащих два нуля подряд.
# Запишите регулярное выражение для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих нечетное число букв $a$.
# Запишите регулярное выражение для слов над бинарным алфавитом, задающих целое число в двоичной системе, не меньшее 51.
# Запишите регулярное выражение для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы одну букву $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражение для слов над алфавитом $\{a, b, c\}$, содержащих хотя бы две буквы $a$ и хотя бы одну букву $b$.
# Запишите регулярное выражение для слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись числа, кратного трем.
# Постройте детерминированный конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых пятый символ с конца - единица.
# Докажите, что любой детерминированный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых $k$-й символ с конца равен 0, содержит $\Omega(2^k)$ состояний.
# Можно ли обобщить два предыдущих задания для любого размера алфавита $c$ следующим образом: построить семейство языков, для которых будут существовать НКА, содержащий $k$ состояний, но любые ДКА будут содержать $\Omega(c^k)$ состояний?
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 5 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Постройте конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой развернутую двоичную запись чисел кратных 6 (сначала на вход подаются младшие разряды).
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(dn)$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Предложите для заданного ДКА размера $n$ алгоритм подсчета количества слов длины не больше $d$ которые он допускает, за $O(\log{(d)} \cdot poly(n))$ для некоторого полинома $poly$.
# Петя строит автомат для конкатенации языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Оказалось, что автомат для $L_1$ содержит только одно терминальное состояние и Петя просто объединил в одно это состояние и начальное состояние автомата для $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для объединения языков $L_1$ и $L_2$ из автоматов для этих языков. Решив сэкономить, Петя просто объединил в одно начальные состояния автоматов для $L_1$ и $L_2$. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
# Петя строит автомат для замыкания Клини языка $L$. Решив сэкономить, Петя просто провёл $\varepsilon$-переход из каждого терминального состояния в начальное состояние, и сделал начальное состояние также терминальным. Всегда ли у Пети получится то, что нужно?
Анонимный участник

Навигация