Список заданий по ДМ 2023 осень — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 18: Строка 18:
 
# Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
 
# Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
 
# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
 
# Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
 +
# Для решения этой серии вам необходимо самостоятельно изучить понятие СДНФ. В этой задаче вам необходимо построить СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
 +
# Стрелка Пирcа (NOR) - булева функция $a \downarrow b = \neg (a \vee b)$. Выразите в явном виде ""и"", ""или"" и ""не"" через стрелку Пирса
 +
# Штрих Шеффера (NAND) - булева функция $a \uparrow  b = \neg (a \wedge b)$. Выразите в явном виде ""и"", ""или"" и ""не"" через штрих Шеффера
 +
# Функция $f$ называется самодвойственной, если $f(\neg x_1, \ldots, \neg x_n) = \neg f(x_1, \ldots, x_n)$. Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргументов?
 +
# Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
 +
# Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{x\to y, {\mathbf 0}\}$?
 +
# Медиана $\langle xyz\rangle$, также известная как функция большинства или функция голосования, равна 1, если из трех ее аргументов хотя бы два равны 1. Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{\langle xyz\rangle, \neg x\}$?
 +
# Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$?
 +
# Можно ли выразить ""и"" через ""или""?
 +
# Можно ли выразить $\oplus$ через $=$?
 +
# Медиана $2n+1$ булевского значения равна 1 если и только если среди аргументов больше 1. Выразите медиану 5 через медиану 3
 +
# Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
 +
# Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что ""и"", ""или"", ""не"" - пороговые функции.
 +
# Приведите пример непороговой функции. Поясните, почему из предыдущего номера не следует, что любая функция является пороговой.
 +
# Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
 +
# КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
 +
# Расссмотрим функцию $f$, построим ее СДНФ. Заменим в этой формуле все $\vee$ на $\wedge$ и наоборот. Получится СКНФ некоторой функции $g$. Для каких функций $f$ выполнено $f=g$?

Версия 17:08, 14 сентября 2023

  1. Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
  2. Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
  3. Постройте пример отношения, которое не симметрично и не антисимметрично
  4. Постройте пример отношения, которое симметрично и антисимметрично
  5. Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
  6. Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
  7. Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
  8. Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
  9. Композиция отношений $R$ и $S$ это отношение $T=RS$, где $xTy$, если найдется $z$, такой что $xRz$ и $zSy$. Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивной их композиция?
  10. Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричной их композиция?
  11. Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
  12. Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
  13. Докажите, что $(RS)^{-1} = S^{-1}R^{-1}$.
  14. Композицией функций $f : A \to B$ и $g : B \to C$ называется $g \circ f$, что $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Докажите, если $f$ и $g$ инъективны/сюръективны/биективны, то то же свойство верно и для их композиции.
  15. Отношение $R \subseteq A \times B$ называется функциональным, если $R^{-1} R \subseteq I$. Правда ли, что если $R \subseteq A \times B$ и $S \subseteq B \times C$ функциональны, то $RS \subseteq A \times C$ функционально?
  16. Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $a + d = b + c$ на ${\mathbb N} \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
  17. Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
  18. Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
  19. Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
  20. Для решения этой серии вам необходимо самостоятельно изучить понятие СДНФ. В этой задаче вам необходимо построить СКНФ. Будем называть формулу для функции совершенной конъюнктивной нормальной формой, если ее эта формула является конъюнкцией клозов, каждый из которых представляет дизъюнкцию переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в каждом клозе ровно один раз. Докажите, что любую функцию, кроме тождественной 1, можно представить в виде СКНФ.
  21. Стрелка Пирcа (NOR) - булева функция $a \downarrow b = \neg (a \vee b)$. Выразите в явном виде ""и"", ""или"" и ""не"" через стрелку Пирса
  22. Штрих Шеффера (NAND) - булева функция $a \uparrow b = \neg (a \wedge b)$. Выразите в явном виде ""и"", ""или"" и ""не"" через штрих Шеффера
  23. Функция $f$ называется самодвойственной, если $f(\neg x_1, \ldots, \neg x_n) = \neg f(x_1, \ldots, x_n)$. Сколько существует самодвойственных функций от $n$ аргументов?
  24. Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
  25. Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{x\to y, {\mathbf 0}\}$?
  26. Медиана $\langle xyz\rangle$, также известная как функция большинства или функция голосования, равна 1, если из трех ее аргументов хотя бы два равны 1. Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{\langle xyz\rangle, \neg x\}$?
  27. Можно ли ""и"", ""или"" и ""не"" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$?
  28. Можно ли выразить ""и"" через ""или""?
  29. Можно ли выразить $\oplus$ через $=$?
  30. Медиана $2n+1$ булевского значения равна 1 если и только если среди аргументов больше 1. Выразите медиану 5 через медиану 3
  31. Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
  32. Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что ""и"", ""или"", ""не"" - пороговые функции.
  33. Приведите пример непороговой функции. Поясните, почему из предыдущего номера не следует, что любая функция является пороговой.
  34. Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$
  35. КНФ называется КНФ Хорна, если в каждом дизъюнкте не более одной переменной находится без отрицания. Пример: $x\wedge(x \vee \neg y \vee \neg z) \wedge (\neg x \vee \neg t)$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что формула, заданная в форме КНФ Хорна имеет набор аргументов, на котором она равна 1.
  36. Расссмотрим функцию $f$, построим ее СДНФ. Заменим в этой формуле все $\vee$ на $\wedge$ и наоборот. Получится СКНФ некоторой функции $g$. Для каких функций $f$ выполнено $f=g$?