Изменения

# Докажите, что $L = NC^1\subset L$ ($L$ здесь log space).

# Арифметическая схема - аналог булевой схемы, но на вход она получает $m$-битные неотрицательные целые числа, а вместо функциональных элементов используются арифметические: <<"$+$>>", <<"$-$>> " и <<"$\times$>>". Также на некоторые входы разрешается подать константы. Все вычисления происходят в целых числах. Разработайте вероятностный алгоритм проверки, что заданная арифметическая схема с $n$ арифметическими элементами равна нулю на любых входах, полиномиальный относительно $n$ и $m$.# Рассмотрим следующее (неверное) доказательство, что $NP \subset BPP$. Решим для этого $NP$-полную задачу $CIRCUIT-SAT$. Рассмотрим булеву схему в базисе "$\oplus$", "$\wedge$", "$\mathbb{1}$". Превратим её в арифметическую схему, заменив элемент <<"$\oplus$>> " на <<"$+$>>", а "$\wedge$ " на <<"$\times$>>". Теперь проверим её на вычисление тождественного нуля с помощью предыдущей задачи. В чём ошибка в рассуждениях?# Вероятностный Prover. Докажите, что возможность использовать (свою, отличную от ленты Verifier) вероятностную ленту для Prover не меняет множество языков из $IP$.# Запрет на обман. Докажите, что если установить требование, что для слов из языка вероятность допуска равна 0, то получившийся класс $IP_0 = NP$.# Интерактивное доказательство для перманента, часть 1. Перманент матрицы - $\mathrm{perm}(A)=\sum_{\sigma}\prod_{i=1}^n a_{i\sigma_i}$ - вычисляется по той же формуле, что и определитель, но суммирование происходит без $(-1)^{\mathrm{sign}(\sigma)}$. Можно показать, что вычисление перманента - трудная задача. Докажите формулу разложения перманента по первой строке $\mathrm{perm}(A)=\sum_{i=1}^n a_{1i}\mathrm{perm}(A_{1i})$.# Часть 2. Рассмотрим $A_{1i}[j][k]$ как функцию от $i$. Докажите, что для всех $j$ и $k$ она является полиномом от $i$. Какой степени? Рассмотрим матрицу полиномов $D_A(x)$, элемент которой $D_A(x)[j][k]$ для всех $i$ равен $A_{1i}[j][k]$# Часть 3. Рассмотрим $\mathrm{perm}(D_A(x))$. Докажите, что он является полиномом от $x$. Какой степени?# Часть 4. На основании предыдущих трех заданий и конструкции интерактивного доказательства для $\#SAT$ разработайте интерактивное доказательство для языка $\langle A, k\rangle$, где $\mathrm{perm}A = k$.# Назовём язык $L$ самосводимым, если $L \in P^{L^{<n}}$, (обозначение $L^{<n}$ означает, что все вопросы к оракулу имеют длину строго меньше $n$, где $n$ - длина входа). Докажите, что $SAT$ является самосводимым.# Докажите, что если $L$ самосводим, то $L \in PSPACE$.# Докажите, что язык $GI$ пар изоморфных графов является самосводимым.# Докажите, что для языка $GI$ пар изоморфных графов можно, используя самосводимость, за полиномиальное время восстановить перестановку изоморфизма.# Докажите, что любой язык из $NPC$ является самосводимым.# Следует ли из доказательства предыдущего задания, что для любого языка $L \in NPC$ и функции проверки сертификатов $R(x, y)$ при условии доступа к оракулу для $L^{<n}$ можно по $x$ за полиномиальное время построить сертификат $y$?# Докажите, что следующая конструкция является универсальным семейством попарно независимых хеш-функций $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$. Рассмотрим все матрицы $A$ размера $k \times n$ из нулей и единиц, а также все вектора длины $k$. Все вычисления выполняются по модулю 2. Для каждой пары матрицы-вектор определим хеш-функцию $h(x) = Ax+b$.# Докажите, что если $S \subset \mathbb{B}^n$, $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $|S| \le 2^{k-1}$, $p = |S|/2^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то $3p/4\le \mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le p$.# Докажите, что если либо $|S| = a$, либо $|S| = a/2$, $k$ равно минимальному целому числу, для которого $a \le 2^{k-1}$, то существуют различные константы $c_1 < c_2$, такие что выполнено следующее. Если $h$ случайно равновероятно выбрана из универсального семейства попарно независимых хеш функций, $\mathbb{B}^n \to \mathbb{B}^k$, $y$ выбран случайно равновероятно из множества $\mathbb{B}^k$, то если $|S| = a$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\ge c_2$, а если $|S| = a/2$, то $\mathbb{P}(\exists x\in S: h(x)=y)\le c_1$.# Завершите доказательство корректности протокола большого множества, который позволяет различать случаи $|S| = a$ и $|S| = a/2$.# Протокол большого множества можно модифицировать, чтобы если множество большое, Prover мог добиться, чтобы Verifier принимал с вероятностью 1. Из каких компонент сложить решение: пусть $S \subset \mathbb{B}^n$, $|S| = a$ или $|S| = a/c$, где $c$ - параметр, который выберем позже, $H$ - универсальное семейство попарно независимых хеш-функций из $\mathbb{B}^n$ в $\mathbb{B}^k$. Можно выбрать такое $c$ и такое $t$, полиномиальное от $n$, что если $|S| = a$, то существуют $t$ хеш-функций $h_1, \ldots, h_t$, что $\cup h_i(S) = \mathbb{B}^k$, а если $|S| = a/c$, то для любых $t$ хеш-функций $|\cup h_i(S)| < 2^{k-1}$. При этом $c$ можно менять, рассматривая вместо $S$ множество $S^z$ для целого $z$. Совет: вспомнить доказательство теоремы Лаутемана.# Изоморфизм графов скорее всего не является $NP$-полным. Пусть $GI \in NPC$, тогда $GNI \in coNPC$. Докажите, что из этого следует, что $\Sigma_2 = \Pi_2$. Указание: используйте факт, что для $GNI$ существует $AM$-доказательство с нулевой вероятностью ошибки, если $x \in GNI$ (предыдущее задание).# Докажите, что если любой язык из $NP$ является самосводимым, то $P = NP$.