Изменения

'''Список [[Файл:Skip list example.png|thumb|550px|Пример списка с пропусками''' (''skip-list'') — вероятностная структура данных, основанная на нескольких отсортированных односвязных списках.]]

Отсортированный связный список является простейшей структурой '''Список с временем поиска <tex>\Thetaпропусками''' (nангл. ''skip list'')</tex>. Добавление дополнительных уровней— вероятностная структура данных, обеспечивающих быстрый доступ через несколько элементов, поможет улучшить асимптотику до позволяющая в среднем за <tex>\ThetaO(\log(n))</tex>времени выполнять операции добавления, удаления и поиска элементов.

==Описание==Список с пропусками строится состоит из нескольких уровней, на основе существующего односвязного отсортированного спискакаждом из которых находится отсортированный связный список. На самом нижнем (первом) уровне располагаются все элементы. Дальше около половины элементов в таком же порядке располагаются на втором, почти четверть — на третьем и так далее, но при этом известно, что если элемент расположен на уровне <tex>i</tex>, то он также расположен на всех уровнях, номера которых меньше <tex>i</tex>.

==Построение==[[Файл:SimpleList.png|thumb|600px|Односвязный отсортированный список]]

Добавив дополнительные уровни, каждый из которых представляет предыдущий уровень без нечетных элементов[[Файл:SkipList.png|thumb|600px|Получившийся список с пропусками]]Допустим, что нам задан односвязный отсортированный список и мы получим возможность осуществлять поиск, вставку и удаление элементов подобно операциям хотим построить на его основе список с двоичным деревом поиска. Одинаковые элементы связаны между уровнями. Соответственнопропусками, асимптотика этих операций будет составлять позволяющий в среднем за <tex>\ThetaO(\log({n)})</tex>времени выполнять операции добавления, удаления и поиска элементов.

[[ФайлНа самом нижнем уровне списка с пропусками мы расположим исходный список. На втором уровне — всё элементы с чётными номерами, причём каждый элемент будет ссылаться на соответствующий ему элемент на нижнем уровне. Таким же образом построим и третий уровень, куда будем добавлять только те элементы, номера которых кратны четырём. Аналогичным образом построим и последующие уровни. ====Псевдокод==== Каждый уровень списка с пропусками содержит отсортированный односвязный список, у которого есть начало <tex>\mathtt{head} \ </tex> и конец <tex>\mathtt{tail}</tex>. Для выполнения операций на списке с пропусками необходимо передавать в качестве аргумента ссылку на начало односвязного списка, расположенного на самом верхнем уровне. Элементы односвязного списка — вершины <tex>\mathtt{node}</tex>, у которых есть <tex>3</tex> поля:* <tex>\mathtt{next}</tex> — ссылка на следующий элемент списка на данном уровне* <tex>\mathtt{key}</tex> — ключ, который хранится в данной вершине* <tex>\mathtt{down}</tex> — ссылка на соответственный элемент, лежащий уровнем ниже  '''struct''' node: '''node''' next, down '''K''' key Также известно, что <tex>\mathtt{head{.}key} = -\infty \ </tex> и <tex>\mathtt{tail{.}key} = \infty</tex>,  Функция <tex>\ \mathtt{build\_lvl} \ </tex> возвращает новый уровень списка с пропусками на основе предыдущего построенного уровня.  '''list''' build_lvl('''list''' lvl) '''list''' next_lvl next_lvl.head.down = lvl.head next_lvl.tail.down = lvl.tail '''node''' i = lvl.head.next.next '''node''' cur = next_lvl.head '''while''' i <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' i.next <tex>\neq</tex> ''null'' cur.next = node(key, i, cur.next) <font color=darkgreen>// Конструктор node(key, down, next) возвращает новую вершину с ключом key, ссылками down на нижний и next на следующий элемент</font> cur = cur.next i = i.next.next <font color=darkgreen>// Переход к следующему чётному элементу</font> '''return''' next_lvl  Функция <tex>\ \mathtt{skip\_list} \ </tex> принимает в качестве аргумента односвязный отсортированный список и возвращает новый список с пропусками, построенный на его основе.  '''list''' skip_list('''list''' l):SkipList '''list''' lvl <font color=darkgreen>// Построение первого уровня</font> '''node''' i = l.head '''node''' j = lvl.head '''while''' j <tex>\neq</tex> l.tail i.next = node(j.key, ''null'', j.next) i = i.next j = j.next '''while''' lvl.png]]size > 2 lvl = build_lvl(lvl) '''return''' lvl <font color=darkgreen>// Возвращает ссылку на начало верхнего уровня</font>

Допустим, что Алгоритм поиска элемента в нашем списке с пропусками существуют два уровнясостоит из следующих операций: # Начинаем поиск элемента в самом верхнем уровне# Переходим к следующему элементу списка, пока значение в следующей ячейке меньше# Переместимся на один уровень вниз и перейти к шагу <tex>L_12</tex>. Если мы уже на первом уровне — прекратим поиск и вернём ссылку на текущую вершину В конце алгоритма функция вернёт элемент, в котором содержатся все элементы и значение которого не меньше ключа <tex>L_2\mathtt{key}</tex>, в котором присутствует только часть из них. Между одинаковыми элементами этих двух списков существуют ссылкиили ссылку на конец списка на первом уровне.

В таком Если в качестве случайного источника мы будем использовать честную монету, то в среднем случае алгоритм поиска будет <tex>\log{n}</tex> уровне. На самом верхнем уровне будет не более двух элементов. Тогда на каждом уровне в среднем нужно проверить не более двух элементов (в этой структуре противном случае могли бы вместо двух нижних элементов проверить ещё один уровнем выше). Если же у нас будет представлять из себя следующие операции:# Начинаем поиск элемента в верхнем левом углу# Передвигаться будем по списку <tex>L_2k</tex>уровней, пока значение тогда на каждом уровне в следующей ячейке меньше или равно ключу# Переместиться среднем будет в нижний уровень и продолжить аналогичный метод <tex>n^{1/k}</tex> раз элементов больше, чем уровнем выше. В таком случае время поиска по списку элемента <tex>L_1-</tex> <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex> .

[[Файл:SkipListSearchФункция <tex>\mathtt{find}</tex> возвращает ссылку на элемент, значение которого не меньше <tex>\mathtt{key}</tex>.png]]В случае, если все элементы в списке с пропусками меньше <tex>\mathtt{key}</tex>, то возвращается ссылка на конец списка с пропусками. '''T''' find('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.key < key res = res.next '''if''' res.down = ''null'' <font color=darkgreen>// Если мы находимся на первом уровне</font> '''return''' res <font color=darkgreen>// Мы нашли искомый элемент</font> '''return''' find(res.down, key) <font color=darkgreen>// Иначе спустимся на один уровень ниже</font>

Тогда время работы алгоритма поиска будет зависеть от количества элементов на уровне Для того, чтобы найти элемент с ключом <tex>\mathtt{key}</tex> в списке с пропусками <tex>L_2\mathtt{skip}</tex>. Представим, что на этот уровень у нас случайным необходимо запустить <tex>\mathtt{find}</tex> следующим образом попало несколько элементов. Следовательно в худшем случае поиска мы получим следующую оценку на время работы:

Минимизируя, ===Вставка элемента===Алгоритм вставки элементов в список с пропусками состоит из следующих шагов:# Начинаем вставку на самом верхнем уровне# Переходим к следующему элементу списка пока значение следующей ячейки меньше ключа.# Если мы получаем, что на первом уровне — вставляем элемент. Иначе спускаемся ниже и возвращаемся к шагу <tex>\vert L_2 \vert ^ 2 = n</tex>. Если нам вернули не ''null'' — вставляем элемент на текущем уровне тоже.# Кидаем монетку и если выпал «Орёл», то возвращаем ссылку на текущий элемент, иначе — ''null''. Если мы были не на первом уровне и нам вернули ''null'' — возвращаем его без броска монетки.

В итоге время за которое мы найдем Отдельно стоит обработать случай, когда вставка нового элемента увеличивает число уровней. Тогда необходимо создать ещё один отсортированный список, в котором будет всего один текущий элемент в списке , и не забыть присвоить списку с пропусками с двумя уровнями будет равняться:новую ссылку на верхний уровень. Будем считать, что вставка каждого нового элемента увеличивает число уровней не более чем на один.

Заметим, что вставка элемента <tex> -</tex> поиск элемента и за <tex>O(1)</tex> добавляем не более, чем в <tex>k</tex> уровней элемент. Итого время работы <tex>O(k \sqrt{cdot n} + \dfrac^{n}{\sqrt{n}} = 2 \sqrt{n1/k})</tex>.

Делая аналогичные подсчеты для списков с пропусками, в которых содержится больше уровней, получаем:* Для трех уровней: <tex> 3 \sqrt[3]{n}</tex>* Для четырех уровней: <tex> 4 \sqrt[4]{n}</tex>* Для пяти уровней: <tex> 5 \sqrt[5]{n}</tex>* Для <tex>\log{n}</tex> уровней: <tex> \log{n} \times \sqrt[\log{n}]{n} = n ^ {\frac{1}{log{n}}} \log{n} = n ^ {\log_n{2}} \log{n} = 2\log{n}</tex> =Псевдокод====В списках с пропусками, в которых содержится Функция <tex>\logmathtt{ninsert}\ </tex> уровней будет себя вести очень похоже возвращаем ссылку на сбалансированные бинарные деревья поиска. В идеальной данной структуре соотношение между соседними уровнями будет равняться двум. Поиск вставленный элемент в <tex>\log{n}</tex> списке с пропусками будет осуществляться за асимптотическое время , в котором находится <tex>O(\logmathtt{nres})</tex>, или ''null'', если на монете выпала «Решка».

'''node''' insert('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.next <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' res.next.key < key res =res.next '''node''' down_node '''if''' res.down =''null'' down_node =Вставка элемента''null'' '''else''' down_node =insert(res.down, key) '''if''' down_node <tex>\neq</tex> ''null'' '''or''' res.down =''null'' <font color=darkgreen>// Если выпал «Орёл» или мы находимся на первом уровне</font>Для вставки элемента в список с пропусками res.next = node(key, нам необходимо выполнить следующие шаги:down_node, res.next)# Найти с помощью алгоритма поиска позицию, куда нам надо вставить этот элемент '''if''' coin_flip() = ''head'' <font color=darkgreen>// Если выпал «Орёл»</font># Вставить наш элемент в нижний уровень списка с пропусками '''return''' res.next# «Подбросить монетку» и в зависимости от результата протолкнуть элемент на уровень выше '''return''' ''null''# Повторять предыдущий шаг до тех пор, пока у нас «подброс монетки» дает положительный результат '''return''' ''null''

Таким образомДля того, если использовать честную монету, то математическое ожидание количества элементов на втором уровне равняется <tex>\dfrac{n}{2}</tex>, на третьем уровне <tex>\dfrac{n}{4}</tex> и т.д. На уровне <tex>\log{n}</tex> у нас окажется один чтобы вставить элемент. Ну и соответственно вероятности попасть элементу на второй уровень — это с ключом <tex>\dfrac{1}mathtt{2key}</tex>, на третий в список с пропусками <tex>\dfrac{1}{4}</tex> и т.д. Вероятность попасть на уровень <tex>\log{n}</tex> равна <tex>\dfrac{1}mathtt{nskip}</tex>.необходимо вызвать следующую функцию

Используя монетку с распределением отличным от {<tex>\dfrac{1}{2}</tex> '''function''' insert_element('''list''' skip, '''K''' key) '''node''' res = insert(skip.head, key) '''if''' res <tex>\dfrac{1}{2}neq</tex>}, можно влиять на количество элементов на верхних уровнях (и соответственно, на количество уровней)''null'' '''list''' lvl lvl. Однако как при большем количестве проталкиваний элементов на уровень выше, так и при меньшем, количество шагов при поиске элемента возрастаетhead. При распределении {0, 1} структура превращается в обыкновенный списокnext = node(key, при {1res, 0} {{---}} в <tex>n</tex> параллельных списковlvl. В обоих случаях tail) skip = lvl

Алгоритм удаления достаточно тривиален. элемента выглядит следующим образом:# Найти удаляемый Начинаем удалять элементс верхнего уровня# Удалить Переходим к следующему элементу, пока значение следующего элемента меньше ключа# Если элемент существует на данном уровне — удаляем его с этого уровня. Если мы не на первом уровне, то удаляем элемент ещё с нижнего уровня.====Псевдокод====Функция <tex>\mathtt{delete}</tex> удаляет элемент <tex>\mathtt{key}</tex> со всех уровней.  '''function''' delete('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.next <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' res.next.key < key res = res.next '''if''' res.down <tex>\neq</tex> ''null'' delete(res.down, key) '''if''' res.next <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' res.next.key = key res.next = res.next.next Аналогично со вставкой удаление <tex>-</tex> поиск элемента за <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex> плюс удаление на каждом уровне за <tex>O(1)</tex>. Итого <tex>-</tex> <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex>. Для того, чтобы удалить элемент <tex>\mathtt{key}</tex> из списка с пропусками <tex>\mathtt{skip}</tex>, необходимо вызвать функцию <tex>\mathtt{delete} \ </tex> следующим образом:  delete(skip.head, key) ==Использование нечестной монеты==Вместо честной монеты с распределением <tex>\left\{\dfrac{1}{2}, \ \dfrac{1}{2}\right\}</tex> можно взять в качестве случайного источника нечестную монету с распределением <tex>\{p,q\}</tex> (с вероятностью <tex>p</tex> выпадает «Орёл»). Тогда математическим ожиданием количества элементов на уровне <tex>k</tex> будет <tex>n \cdot p^k</tex>. Время поиска будет равно <tex>O\left( \dfrac{1}{p} \log_{1/p} {n} \right)</tex> <tex>(</tex>на <tex>i</tex>-ом уровне элементов будет почти в <tex>\dfrac{1}{p}</tex> раз больше, чем на <tex>(i+1)</tex>-ом, значит на каждом уровне пройдём не более <tex>\dfrac{1}{p}</tex> элементов, а уровней всего <tex>\log_{1/p} {n}</tex><tex>)</tex>.  Пусть у нас добавлено <tex>n</tex> элементов. Найдём такое распределение <tex>\left\{ p, q \right\}</tex>, при котором функция <tex>\dfrac{1}{x} \log_{1/x} {n}</tex> принимает минимальное значение. Производная этой функции равна <tex>-\dfrac{\ln{n} \left( \ln {(1/x)} - 1 \right)}{x^2 \ln^2{(1/x)}}</tex>. При <tex>x = \dfrac{1}{e}</tex> производная равна нулю, вторая производная в точке <tex>x_0 = \dfrac{1}{e}</tex> больше <tex>0</tex>, значит <tex>x_0</tex> <tex>-</tex> точка минимума. Значит при распределении <tex>\left\{ \dfrac{1}{e}, \dfrac{e - 1}{e} \right\}</tex> время поиска меньше всего. Но не стоит забывать, что это лишь теоретическая оценка и в действительности придумать источник с распределением <tex>\left\{ \dfrac{1}{e}, \dfrac{e - 1}{e} \right\}</tex> почти невозможно, поэтому на практике лучше всего использовать честную монету. Для крайних распределений:* <tex>\{0, 1\}</tex> — <tex>O(n)</tex> — поиск, добавление и удаления элемента, поскольку мы вместо нескольких списков используем по факту один.* <tex>\{1, 0\}</tex> — зависит от реализации алгоритма. Если при каждой вставке у нас образуется не более одного уровня, то количество уровней будет равным <tex>n</tex>, значит время поиска будет равным <tex>O(n)</tex>. ==Применение== Список с пропусками применяется во многих приложениях, поскольку имеет ряд преимуществ:* Быстрая вставка элемента, поскольку не требуется каким-либо образом изменять другие элементы (только предыдущий элемент)* Проще реализовать, чем сбалансированные деревья или хеш-таблицы* Следующий элемент достаётся за <tex>O(1)</tex> (при условии, что у нас есть ссылка не текущий)* Легко модифицировать под различные задачи

==Псевдокод=Нахождение всех отрезков, покрывающих данную точку===

<code> const float P = 0.5 int random_level(){{Задача int lvl |definition = (int)(log(frand())/log(1.-P))Пусть у нас есть запросы двух видов: if lvl # Добавить отрезок < MAX_LEVEL return lvl return MAX_LEVEL boolean Find (int key) SkipNode x = header for i = level to 0 while x.forwardtex>[i] != NULL and x.forward[iL, R].value < key/tex> x = x.forward[i] x = x.forward[0] return x != NULL && x.value == key void Insert(int value) SkipNode # Для заданной точки <tex>x = header SkipNode update update.assign(MAX_LEVEL + 1, 0) for i = level to 0 while x.forward[i] != NULL and x.forward[i].value < value x = x.forward[i] update[i] = x x = x.forward[0] if x == NULL or x.value != value int lvl = random_level() if lvl /tex> level for i = level + 1 to lvl update[i] = header level = lvl x = new SkipNode(lvl, value) for i = 0 to lvl x.forward[i] = update[i].forward[i] update[i].forward[i] = x void Erase(int value) SkipNode x = header SkipNode update update.assign(MAX_LEVEL + 1вычислить количество отрезков, 0) for i = level to 0 while x.forward[i] != NULL and x.forward[i].value < value x = x.forward[i] update[i] = x x = x.forward[0] if x.value == value for i = 0 to level if update[i]которые её покрывают.forward[i] != x break update[i]Необходимо для каждого запроса второго типа вывести ответ.forward[i] = x.forward[i]; delete x while level > 0 or header.forward[level] == NULL level--}}

Для запросов второго типа мы снова будем спускать с верхнего уровня до нижнего. На каждом уровне найдём тот элемент, значение которого не меньше точки <tex>x</tex>. Если такой элемент нашёлся, то прибавляем к ответу значение на отрезку между найденным элементом и следующим. Потом также спускаемся на один уровень вниз, если текущий уровень не был первым. Поскольку уровней всего <tex>\log{n}</tex>, а на каждом уровне обойдём не более двух элементов, то данный тип запросов мы обработаем за <tex>O(\log{n})</codetex>.

==СсылкиСм. также==*[http[Список]]*[[Рандомизированное бинарное дерево поиска]]*[[Поисковые структуры данных]]*[[Skip quadtree://habrahabr.ru/post/111913/ Хабрахабр — Списки с пропускамиопределение, время работы|Skip quadtree]] ==Источники информации==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA_%D1%81_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8 Википедия — списоки списки с пропусками(Ru)]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Skip_list Википедия — списки с пропусками(En)]*[http://bit.ly/LiNe8M Курс kiev-clrs Wikipedia — Списки с пропускамиskip list]