Просмотр исходного текста страницы Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю

=== Свойства сравнений ===
*1. Два числа, сравнимые с третьим сравнимы между собой. <tex>a \equiv c(mod \text{ }m) \text{, } b \equiv c(mod \text{ }m) \Rightarrow a \equiv b(mod \text{ }m)</tex>
** Легко выводится из пункта "а".

*2. Сравнения можно почленно складывать. <tex> a_1 + a_2 + a_3 \equiv b_1 + b_2 + b_3(mod \text{ }m)</tex>
** Представляем сравнения, как в пункте "а" и складываем.

*3. Сравнения можно почленно перемножать. <tex> a_1a_2a_3 \equiv b_1b_2b_3(mod \text{ }m)</tex>
** Представляем сравнения, как в пункте "а", перемножаем, получим <tex> a_1a_2a_3 = b_1b_2b_3+mN</tex>, где N{{---}}целое.

*4. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.
** Действительно, из <tex>a \equiv b(mod \text{ } m)</tex>, <tex> a = a_1d, b = b_1d, (d,m)=1</tex> следует, что <tex> a-b = (a_1 - b_1)d \vdots m </tex>, поэтому <tex> a_1 \equiv b_1(mod \text{ } m)</tex>.

*5. Обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число.
** Действительно, из <tex>a \equiv b(mod \text{ } m)</tex>, следует <tex> a = b+mt, ak =bk +mkt </tex>, и, следовательно, <tex>ak \equiv bk(mod \text{ } mk)</tex>.

*6. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.
** Действительно, пусть <tex>a \equiv b(mod \text{ } m), a = a_1d, b=b_1d, m=m_1d</tex>, отсюда <tex> a= b+mt, a_1d =b_1d +m_1dt, a_1 =b_1 +m_1t</tex>, и, следовательно, <tex>a_1 \equiv b_1(mod \text{ } m_1)</tex>.

*7. Если сравнение <tex>a\equiv b</tex> имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю равному [[Наименьшее общее кратное|НОК]] этих модулей.
**В самом деле, из <tex> a \equiv b(mod \text{ }m_1),\ldots,a \equiv b(mod \text{ }m_k)</tex> следует, что разность <tex> a-b </tex> делится на все модули <tex> m_1,m_2,\ldots,m_k</tex>. Поэтому она должна делиться и на их [[Наименьшее общее кратное|НОК]].

*8. Если сравнение имеет место по модулю '''m''', то оно имеет место и по модулю '''d''', равному любому делителю числа '''m'''.
** Следует из пункта "б".

*9. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая сторона сравнения должна делиться на это число.
** Следует из пункта "а".

*10. Если <tex>a \equiv b(mod \text{ }m) </tex>, то <tex>(a,m) = (b,m) </tex>.
** Следует из пункта "а" по свойству [[Наибольший общий делитель|НОДа]].