Изменения

== Описание ===== Предпосчет ===[[Файл:sqrt.png|right|540px]]Пусть нам дан массив <tex>A</tex> размерности <tex>n</tex>. Cделаем следующий предпосчет:* разделим массив <tex>A</tex> на блоки длины <tex>len = \lfloor \sqrt'''Корневая эвристика (Sqrt-декомпозиция)''' {{n---}} \rfloor</tex> ; * в каждом блоке заранее предпосчитаем необходимую нам операцию это подход к реализации ассоциативных операций (сумму например, суммирование элементов, минимумнахождение минимума/максимум максимума и т.д.);* результаты предпосчёта запишем в массив над идущими подряд элементами некоторого множества размера <tex>Bn</tex> размерности за <tex>cnt</tex>, где <tex>cnt = O(\left\lceil \frac{sqrt n}{len} \right\rceil)</tex> — количество блоков.

Пример предпосчета для запроса "подсчет суммы"[[Файл:<pre>for i = 0 to n B[i / lensqrt.png|358px] += A[i]</pre>

Пример реализации построения массива <tex>B</tex> для операции <tex> \circ </tex>:<code> '''void''' build(): '''for''' i =0 ... cnt B[i] =neutral <font color= Обработка запроса ===Пусть мы получили запрос на нахождение суммы (минимумаgreen>//максимума и т.д) на отрезке neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex>[l, r]\circ </tex></font> '''for''' i = 0 . Отрезок может охватить некоторые блоки массива .. n - 1 B[i / len] = B[i / len] <tex>B\circ </tex> полностью, а так же не более двух блоков (начальный и конечный) - не полностью.A[i]</code>

Пример обработки запроса "подсчет суммы на отрезке Построение, очевидно, происходит за <tex>[l, r]O(n)</tex> " :<pre>left = l / lenright = r / lenend = (left + 1) * len - 1sum = 0времени.

if left == right for i Обработка запроса == l to r sum += AПусть получен запрос на выполнение операции на отрезке <tex>[i]else for i = l to end sum += A[i, r] for i = left + 1 to right - 1 sum += </tex>. Отрезок может охватить некоторые блоки массива <tex>B[i] for i = right * len to r sum += A[i]</pretex>полностью, а так же не более двух блоков (начальный и конечный) {{---}} не полностью.

=== Изменение элемента ===Теперь разрешим изменять элементы. Если меняется какой-то элемент Таким образом, для того чтобы найти результат операции на отрезке <tex>a_i[l, r]</tex>необходимо вручную выполнить ее на "хвостах", то достаточно пересчитать значение <tex>b_k</tex> в том блокеа потом выполнить ее для полученного результата и полных блоков, в котором этот элемент находится:значения которых мы посчитали заранее.

<tex>b_k\ = \min[[Файл:sqrt(new\_value, a_jsum)</tex>, где <tex>a_j</tex> - элементы блока <tex>b_k</tex>.png|358px]]

==Оценка сложности==Размер каждого из "хвостов", очевидно, не превосходит длины блока <tex>len\circ </tex>, а количество блоков не превосходит <tex>cnt</tex>. Поскольку и <tex>len</tex>, и <tex>cnt</tex> мы выбирали <tex>\approx \sqrt{n{---}</tex>} операция, то всего для вычисления минимума и пересчитывания на отрезке <tex>[l \ldots r]</tex> нам понадобится <tex>O(\sqrt{n})</tex> операцийкоторой было сделано построение.

<code> '''T''' query('''int''' l, '''int''' r): left = l / len right = r / len end = (left + 1) * len - 1 res = neutral <font color=green> // neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font> '''if''' left == right '''for''' i = l ... r res = res <tex> \circ </tex> A[i] '''else''' '''for''' i = l ... end res = res <tex> \circ </tex> A[i] '''for''' i = left + 1 ... right - 1 res = res <tex> \circ </tex> B[i] '''for''' i = right * len ... r res = res <tex> \circ </tex> A[i]</code>  Размер каждого из "хвостов", очевидно, не превосходит длины блока <tex>len</tex>, а количество блоков не превосходит <tex>cnt</tex>. Поскольку <tex>len</tex> было выбрано равным <tex>\lfloor \sqrt{n} \rfloor</tex> , а <tex>cnt</tex> было выбрано равным <tex>\left\lceil \dfrac{n}{len} \right\rceil</tex> , то для выполнения операции на отрезке <tex>[l, r]</tex> понадобится <tex>O(\sqrt{n})</tex> времени. == Запрос на изменение элемента ==Реализация данного запроса будет зависеть от того, имеет ли операция, для которой сделано построение, обратную операцию и обладает ли она свойством коммутативности.* если оба условия выполняются, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(1)</tex> времени,* если хотя бы одно из условий не выполняется, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(\sqrt{n})</tex> времени. [[Файл:sqrt(+delta).png|358px]] Примеры реализации: * <tex>p</tex> {{---}} номер элемента из массива <tex>A</tex>, который необходимо заменить, * <tex>\mathtt{newValue}</tex> {{---}} новое значение для данного элемента. Запрос на изменение элемента для операции, у которой есть обратная операция, и выполняется свойство коммутативности: <code> '''function''' set('''int''' p, '''T''' newValue): tmp = B[p / len] <tex> \circ </tex> inverse(A[p]) <font color=green>// inverse(A[p]) {{---}} обратный элемент</font> A[p] = newValue B[p / len] = tmp <tex> \circ </tex> newValue</code> '''Замечание:''' важность наличия свойства коммутативности подчеркивает следующий контрпример. Известно, что умножение матриц не коммутативно. Возьмем блок <tex> b_0 </tex>, как показано на иллюстрации выше, со следующими значениями:  <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 27 & 32 \\ 42 & 50 \end{pmatrix} </tex> ,  <tex> a_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} </tex> ,  <tex> a_1 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} </tex> ,  <tex> a_2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} </tex>. Пусть необходимо изменить значение матрицы <tex> a_1 </tex> на следующее:  <tex> \mathtt{newValue} = a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>. Тогда значения <tex> a_1^{-1} </tex>, <tex> tmp </tex> и новое значение <tex> a_1 </tex> таковы :  <tex> a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1,5 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} </tex>, <tex> tmp = b \cdot a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 8,5 & 5 \\ 13 & 8 \end{pmatrix} </tex> , <tex> a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>. Тогда новое значение <tex> b_0 </tex> следующее:  <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 54 & 59 \\ 84 & 92 \end{pmatrix} </tex>. Хотя правильный результат: <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 51 & 60 \\ 78 & 92 \end{pmatrix} </tex>. Запрос на изменение элемента для операции, у которой хотя бы одно из условий не выполняется: <code> '''function''' set('''int''' p, '''T''' newValue): index = len * (p / len) A[p] = newValue B[p / len] = neutral <font color = green> // neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font> '''for''' i = index ... index + len - 1 B[p / len] = B[p / len] <tex> \circ </tex> A[i]</code> ==См. также==* [[Дерево отрезков. Построение]]* [[Многомерное дерево отрезков]] ==Источникиинформации==* [http://www.e-maxx.ru/algo/sqrt_decomposition Maximal:: algo:: Sqrt - декомпозиция]