Статистики на отрезках. Корневая эвристика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Запрос на изменение элемента)
 
(не показано 16 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
  
'''Корневая эвристика (Sqrt-декомпозиция)''' {{---}} это подход к реализации ассоциативных операций (например, суммирование элементов, нахождение минимума/максимума и т.д.) над идущими подряд элементами некоторого множества за <tex> O(\sqrt n)</tex>.
+
'''Корневая эвристика (Sqrt-декомпозиция)''' {{---}} это подход к реализации ассоциативных операций (например, суммирование элементов, нахождение минимума/максимума и т.д.) над идущими подряд элементами некоторого множества размера <tex>n</tex> за <tex> O(\sqrt n)</tex>.
  
 
== Построение ==
 
== Построение ==
Строка 12: Строка 12:
 
Пример реализации построения массива <tex>B</tex> для операции <tex> \circ </tex>:
 
Пример реализации построения массива <tex>B</tex> для операции <tex> \circ </tex>:
 
<code>
 
<code>
  build()
+
  '''void''' build():
 
     '''for''' i = 0 ... cnt
 
     '''for''' i = 0 ... cnt
 
         B[i] = neutral                <font color=green>// neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font>
 
         B[i] = neutral                <font color=green>// neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font>
 
     '''for''' i = 0 ... n - 1
 
     '''for''' i = 0 ... n - 1
 
         B[i / len] = B[i / len] <tex> \circ </tex> A[i]
 
         B[i / len] = B[i / len] <tex> \circ </tex> A[i]
    '''return''' B
 
 
</code>
 
</code>
  
Строка 35: Строка 34:
  
 
<code>
 
<code>
  query('''int''' l, '''int''' r)
+
  '''T''' query('''int''' l, '''int''' r):
 
     left = l / len
 
     left = l / len
 
     right = r / len
 
     right = r / len
 
     end = (left + 1) * len - 1
 
     end = (left + 1) * len - 1
     res = neutral                      <font color=green> //neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font>
+
     res = neutral                      <font color=green> // neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font>
 
     '''if''' left == right
 
     '''if''' left == right
 
         '''for''' i = l ... r
 
         '''for''' i = l ... r
Строка 50: Строка 49:
 
         '''for''' i = right * len ... r
 
         '''for''' i = right * len ... r
 
             res = res <tex> \circ </tex> A[i]
 
             res = res <tex> \circ </tex> A[i]
    '''return''' ( '''value''' res)
 
 
</code>
 
</code>
  
Строка 58: Строка 56:
 
== Запрос на изменение элемента ==
 
== Запрос на изменение элемента ==
 
Реализация данного запроса будет зависеть от того, имеет ли операция, для которой сделано построение, обратную операцию и обладает ли она свойством коммутативности.
 
Реализация данного запроса будет зависеть от того, имеет ли операция, для которой сделано построение, обратную операцию и обладает ли она свойством коммутативности.
* если оба условия выполняются, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(1)</tex> времени;
+
* если оба условия выполняются, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(1)</tex> времени,
 
* если хотя бы одно из условий не выполняется, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(\sqrt{n})</tex> времени.
 
* если хотя бы одно из условий не выполняется, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(\sqrt{n})</tex> времени.
  
Строка 65: Строка 63:
 
Примеры реализации:
 
Примеры реализации:
  
<tex>p</tex> {{---}} номер элемента из массива <tex>A</tex>, который необходимо заменить; <tex>newValue</tex> {{---}} новое значение для данного элемента.
+
* <tex>p</tex> {{---}} номер элемента из массива <tex>A</tex>, который необходимо заменить,
 +
* <tex>\mathtt{newValue}</tex> {{---}} новое значение для данного элемента.
  
 
Запрос на изменение элемента для операции, у которой есть обратная операция, и выполняется свойство коммутативности:
 
Запрос на изменение элемента для операции, у которой есть обратная операция, и выполняется свойство коммутативности:
  
 
<code>
 
<code>
  set('''int''' p, '''value''' newValue)
+
  '''function''' set('''int''' p, '''T''' newValue):
 
     tmp = B[p / len] <tex> \circ </tex> inverse(A[p])  <font color=green>// inverse(A[p]) {{---}} обратный элемент</font>
 
     tmp = B[p / len] <tex> \circ </tex> inverse(A[p])  <font color=green>// inverse(A[p]) {{---}} обратный элемент</font>
 
     A[p] = newValue
 
     A[p] = newValue
 
     B[p / len] = tmp <tex> \circ </tex> newValue
 
     B[p / len] = tmp <tex> \circ </tex> newValue
    '''return''' ('''value''' A[p])
 
 
</code>
 
</code>
 +
 +
'''Замечание:''' важность наличия свойства коммутативности подчеркивает следующий контрпример. Известно, что умножение матриц не коммутативно. Возьмем блок <tex> b_0 </tex>, как показано на иллюстрации выше, со следующими значениями:
 +
 +
<tex> b_0 = \begin{pmatrix} 27 & 32 \\ 42 & 50 \end{pmatrix} </tex> ,
 +
 +
<tex> a_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} </tex> ,
 +
 +
<tex> a_1 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} </tex> ,
 +
 +
<tex> a_2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} </tex>.
 +
 +
Пусть необходимо изменить значение матрицы <tex> a_1 </tex> на следующее:
 +
 +
<tex> \mathtt{newValue} = a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>.
 +
 +
Тогда значения <tex> a_1^{-1} </tex>, <tex> tmp  </tex> и новое значение <tex> a_1 </tex> таковы :
 +
 +
 +
<tex> a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1,5 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} </tex>,
 +
 +
<tex> tmp = b \cdot a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 8,5 & 5 \\ 13 & 8 \end{pmatrix} </tex> ,
 +
 +
<tex> a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>.
 +
 +
Тогда новое значение <tex> b_0  </tex> следующее:
 +
 +
 +
<tex> b_0 = \begin{pmatrix} 54 & 59 \\ 84 & 92 \end{pmatrix} </tex>.
 +
 +
Хотя правильный результат: <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 51 & 60 \\ 78 & 92 \end{pmatrix} </tex>.
  
 
Запрос на изменение элемента для операции, у которой хотя бы одно из условий не выполняется:
 
Запрос на изменение элемента для операции, у которой хотя бы одно из условий не выполняется:
  
 
<code>
 
<code>
  set('''int''' p, '''value''' newValue)
+
  '''function''' set('''int''' p, '''T''' newValue):
 
     index = len * (p / len)
 
     index = len * (p / len)
 
     A[p] = newValue
 
     A[p] = newValue
Строка 86: Строка 114:
 
     '''for''' i = index ... index + len - 1
 
     '''for''' i = index ... index + len - 1
 
         B[p / len] = B[p / len] <tex> \circ </tex> A[i]
 
         B[p / len] = B[p / len] <tex> \circ </tex> A[i]
    '''return''' ('''value''' A[p])
 
 
</code>
 
</code>
  
Строка 94: Строка 121:
  
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==
* [http://www.e-maxx.ru/algo/sqrt_decomposition Maximal:: algo:: Sqrt - декомпозиция]
+
* [http://www.e-maxx.ru/algo/sqrt_decomposition Maximal:: algo:: Sqrt-декомпозиция]
 
* [http://habrahabr.ru/post/138946/#habracut Sqrt-декомпозиция (корневая оптимизация)]
 
* [http://habrahabr.ru/post/138946/#habracut Sqrt-декомпозиция (корневая оптимизация)]
  

Текущая версия на 11:19, 10 мая 2015

Корневая эвристика (Sqrt-декомпозиция) — это подход к реализации ассоциативных операций (например, суммирование элементов, нахождение минимума/максимума и т.д.) над идущими подряд элементами некоторого множества размера [math]n[/math] за [math] O(\sqrt n)[/math].

Построение[править]

Пусть дан массив [math]A[/math] размерности [math]n[/math]. Cделаем следующие действия:

  • разделим массив [math]A[/math] на блоки длины [math]len = \lfloor \sqrt{n} \rfloor[/math] ,
  • в каждом блоке заранее посчитаем необходимую операцию,
  • результаты подсчета запишем в массив [math]B[/math] размерности [math]cnt[/math], где [math]cnt = \left\lceil \dfrac{n}{len} \right\rceil[/math] — количество блоков.

Sqrt.png

Пример реализации построения массива [math]B[/math] для операции [math] \circ [/math]:

void build():
    for i = 0 ... cnt
        B[i] = neutral                // neutral — нейтральный элемент для операции [math] \circ [/math] 
    for i = 0 ... n - 1
        B[i / len] = B[i / len] [math] \circ [/math] A[i]


Построение, очевидно, происходит за [math]O(n)[/math] времени.

Обработка запроса[править]

Пусть получен запрос на выполнение операции на отрезке [math][l, r][/math]. Отрезок может охватить некоторые блоки массива [math]B[/math] полностью, а так же не более двух блоков (начальный и конечный) — не полностью.

Таким образом, для того чтобы найти результат операции на отрезке [math][l, r][/math] необходимо вручную выполнить ее на "хвостах", а потом выполнить ее для полученного результата и полных блоков, значения которых мы посчитали заранее.

Sqrt(sum).png

Пример реализации обработки запроса:

[math] \circ [/math] — операция, для которой было сделано построение.

T query(int l, int r):
    left = l / len
    right = r / len
    end = (left + 1) * len - 1
    res = neutral                       // neutral — нейтральный элемент для операции [math] \circ [/math] 
    if left == right
        for i = l ... r
            res = res [math] \circ [/math] A[i]
    else
        for i = l ... end
            res = res [math] \circ [/math] A[i]
        for i = left + 1 ... right - 1
            res = res [math] \circ [/math] B[i]
        for i = right * len ... r
            res = res [math] \circ [/math] A[i]


Размер каждого из "хвостов", очевидно, не превосходит длины блока [math]len[/math], а количество блоков не превосходит [math]cnt[/math]. Поскольку [math]len[/math] было выбрано равным [math]\lfloor \sqrt{n} \rfloor[/math] , а [math]cnt[/math] было выбрано равным [math]\left\lceil \dfrac{n}{len} \right\rceil[/math] , то для выполнения операции на отрезке [math][l, r][/math] понадобится [math]O(\sqrt{n})[/math] времени.

Запрос на изменение элемента[править]

Реализация данного запроса будет зависеть от того, имеет ли операция, для которой сделано построение, обратную операцию и обладает ли она свойством коммутативности.

  • если оба условия выполняются, то запрос на изменение элемента можно сделать за [math]O(1)[/math] времени,
  • если хотя бы одно из условий не выполняется, то запрос на изменение элемента можно сделать за [math]O(\sqrt{n})[/math] времени.

Sqrt(+delta).png

Примеры реализации:

  • [math]p[/math] — номер элемента из массива [math]A[/math], который необходимо заменить,
  • [math]\mathtt{newValue}[/math] — новое значение для данного элемента.

Запрос на изменение элемента для операции, у которой есть обратная операция, и выполняется свойство коммутативности:

function set(int p, T newValue):
    tmp = B[p / len] [math] \circ [/math] inverse(A[p])   // inverse(A[p]) — обратный элемент
    A[p] = newValue
    B[p / len] = tmp [math] \circ [/math] newValue

Замечание: важность наличия свойства коммутативности подчеркивает следующий контрпример. Известно, что умножение матриц не коммутативно. Возьмем блок [math] b_0 [/math], как показано на иллюстрации выше, со следующими значениями:

[math] b_0 = \begin{pmatrix} 27 & 32 \\ 42 & 50 \end{pmatrix} [/math] ,

[math] a_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} [/math] ,

[math] a_1 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} [/math] ,

[math] a_2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} [/math].

Пусть необходимо изменить значение матрицы [math] a_1 [/math] на следующее:

[math] \mathtt{newValue} = a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} [/math].

Тогда значения [math] a_1^{-1} [/math], [math] tmp [/math] и новое значение [math] a_1 [/math] таковы :


[math] a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1,5 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} [/math],

[math] tmp = b \cdot a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 8,5 & 5 \\ 13 & 8 \end{pmatrix} [/math] ,

[math] a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} [/math].

Тогда новое значение [math] b_0 [/math] следующее:


[math] b_0 = \begin{pmatrix} 54 & 59 \\ 84 & 92 \end{pmatrix} [/math].

Хотя правильный результат: [math] b_0 = \begin{pmatrix} 51 & 60 \\ 78 & 92 \end{pmatrix} [/math].

Запрос на изменение элемента для операции, у которой хотя бы одно из условий не выполняется:

function set(int p, T newValue):
    index = len * (p / len)
    A[p] = newValue
    B[p / len] = neutral              // neutral — нейтральный элемент для операции [math] \circ [/math] 
    for i = index ... index + len - 1
        B[p / len] = B[p / len] [math] \circ [/math] A[i]

См. также[править]

Источники информации[править]