Изменения

== Описание ==''Привидем описание для операции минимума'Корневая эвристика (Sqrt-декомпозиция)'''{{---}} это подход к реализации ассоциативных операций (например, суммирование элементов, нахождение минимума/максимума и т.д.) над идущими подряд элементами некоторого множества размера <tex>n</tex> за <tex> O(\sqrt n)</tex>.

Дан == Построение ==Пусть дан массив <tex>A[0 \ldots </tex> размерности <tex>n-1]</tex>. Cделаем следующий предпосчётследующие действия: * разделим массив <tex>A </tex> на блоки длины <tex>len = \lfloor \sqrt{n}\rfloor</tex> (округлённому к целому), и * в каждом блоке заранее предпосчитаем нужную посчитаем необходимую операцию ,* результаты подсчета запишем в нём. Пусть len — это длина блока массив <tex>B</tex> размерности <tex>(len \approx \sqrt{n})cnt</tex>, а где <tex>cnt = \left\lceil \fracdfrac{n}{len} \right\rceil</tex> — {{---}} количество блоков:.

[[Файл:Корневая эвристикаsqrt.png|358px]]

Через Пример реализации построения массива <tex>b_kB</tex> мы обозначили результат предпосчёта в kдля операции <tex> \circ </tex>:<code> '''void''' build(): '''for''' i = 0 ... cnt B[i] = neutral <font color=green>// neutral {{-ом подотрезке--}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font> '''for''' i = 0 ... n - 1 B[i / len] = B[i / len] <tex> \circ </tex> A[i]</code>

Теперь разрешим изменять элементы. Если меняется какой-то элемент <tex>a_i</tex>Построение, очевидно, то достаточно пересчитать значение происходит за <tex>b_kO(n)</tex> в том блоке, в котором этот элемент находится:времени.

== Обработка запроса ==Пусть получен запрос на выполнение операции на отрезке <tex>b_k\ = \min(new_value[l, a_j)r]</tex>, где . Отрезок может охватить некоторые блоки массива <tex>a_jB</tex> полностью, а так же не более двух блоков (начальный и конечный) {{- элементы блока <tex>b_k</tex>--}} не полностью.

Таким образом, для того чтобы найти результат операции на отрезке <tex>(k = i / len)[l, r]</tex>необходимо вручную выполнить ее на "хвостах", а потом выполнить ее для полученного результата и полных блоков, значения которых мы посчитали заранее.

==Оценка сложности==Размер каждого из "хвостов", очевидно, не превосходит длины блока <tex>len</tex>, а количество блоков не превосходит <tex>cnt</tex>. Поскольку и <tex>len</tex>, и <tex>cnt</tex> мы выбирали <tex>\approx \[[Файл:sqrt{n}</tex>, то всего для вычисления минимума и пересчитывания на отрезке <tex>[l \ldots r]</tex> нам понадобится <tex>O(\sqrt{n}sum)</tex> операций.png|358px]]

Пример реализации обработки запроса: <tex> \circ </tex> {{---}} операция, для которой было сделано построение. <code> '''T''' query('''int''' l, '''int''' r): left = l / len right = r / len end = (left + 1) * len - 1 res = neutral <font color=green> // neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font> '''if''' left == right '''for''' i = l ... r res = res <tex> \circ </tex> A[i] '''else''' '''for''' i = l ... end res = res <tex> \circ </tex> A[i] '''for''' i = left + 1 ... right - 1 res = res <tex> \circ </tex> B[i] '''for''' i = right * len ... r res = res <tex> \circ </tex> A[i]</code>  Размер каждого из "хвостов", очевидно, не превосходит длины блока <tex>len</tex>, а количество блоков не превосходит <tex>cnt</tex>. Поскольку <tex>len</tex> было выбрано равным <tex>\lfloor \sqrt{n} \rfloor</tex> , а <tex>cnt</tex> было выбрано равным <tex>\left\lceil \dfrac{n}{len} \right\rceil</tex> , то для выполнения операции на отрезке <tex>[l, r]</tex> понадобится <tex>O(\sqrt{n})</tex> времени. == Запрос на изменение элемента ==Реализация данного запроса будет зависеть от того, имеет ли операция, для которой сделано построение, обратную операцию и обладает ли она свойством коммутативности.* если оба условия выполняются, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(1)</tex> времени,* если хотя бы одно из условий не выполняется, то запрос на изменение элемента можно сделать за <tex>O(\sqrt{n})</tex> времени. [[Файл:sqrt(+delta).png|358px]] Примеры реализации: * <tex>p</tex> {{---}} номер элемента из массива <tex>A</tex>, который необходимо заменить, * <tex>\mathtt{newValue}</tex> {{---}} новое значение для данного элемента. Запрос на изменение элемента для операции, у которой есть обратная операция, и выполняется свойство коммутативности: <code> '''function''' set('''int''' p, '''T''' newValue): tmp = B[p / len] <tex> \circ </tex> inverse(A[p]) <font color=green>// inverse(A[p]) {{---}} обратный элемент</font> A[p] = newValue B[p / len] = tmp <tex> \circ </tex> newValue</code> '''Замечание:''' важность наличия свойства коммутативности подчеркивает следующий контрпример. Известно, что умножение матриц не коммутативно. Возьмем блок <tex> b_0 </tex>, как показано на иллюстрации выше, со следующими значениями:  <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 27 & 32 \\ 42 & 50 \end{pmatrix} </tex> ,  <tex> a_0 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} </tex> ,  <tex> a_1 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} </tex> ,  <tex> a_2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} </tex>. Пусть необходимо изменить значение матрицы <tex> a_1 </tex> на следующее:  <tex> \mathtt{newValue} = a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>. Тогда значения <tex> a_1^{-1} </tex>, <tex> tmp </tex> и новое значение <tex> a_1 </tex> таковы :  <tex> a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1,5 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} </tex>, <tex> tmp = b \cdot a_1^{-1} = \begin{pmatrix} 8,5 & 5 \\ 13 & 8 \end{pmatrix} </tex> , <tex> a_1 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} </tex>. Тогда новое значение <tex> b_0 </tex> следующее:  <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 54 & 59 \\ 84 & 92 \end{pmatrix} </tex>. Хотя правильный результат: <tex> b_0 = \begin{pmatrix} 51 & 60 \\ 78 & 92 \end{pmatrix} </tex>. Запрос на изменение элемента для операции, у которой хотя бы одно из условий не выполняется: <code> '''function''' set('''int''' p, '''T''' newValue): index = len * (p / len) A[p] = newValue B[p / len] = neutral <font color = green> // neutral {{---}} нейтральный элемент для операции <tex> \circ </tex> </font> '''for''' i = index ... index + len - 1 B[p / len] = B[p / len] <tex> \circ </tex> A[i]</code> ==См. также==* [[Дерево отрезков. Построение]]* [[Многомерное дерево отрезков]] ==Источникиинформации==* [http://www.e-maxx.ru/algo/sqrt_decomposition Maximal:: algo:: Sqrt - декомпозиция]* [http://habrahabr.ru/post/138946/#habracut Sqrt-декомпозиция (корневая оптимизация)]  [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Дерево отрезков]]