Изменения
→Ссылки
{{ptreadyready}}{{Определение|definition=Выпуклой оболочкой множества точек называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих все заданные точки.}}
Ниже приводятся основные алгоритмы построения выпуклых оболочек статического множества. Используются обозначения: <tex>n</tex> - размер входных данных, <tex>k</tex> - размер оболочки.
== Описание Алгоритма ==
[[File:Graham1.png|thumb|250px|Промежуточный шаг алгоритма. Для точки <tex>p_i</tex> ищем следующую перебором.]] <br/><br/>
== Сложность ==
Добавление каждой точки в ответ занимает <tex>O(n)</tex> времени, всего точек будет <tex>k</tex>, поэтому итоговая сложность <tex>O(nk)</tex>. В худшем случае, когда оболочка состоит из всех точек сложность <tex>O(n^2)</tex>.
== Ссылки ==
= Алгоритм Грэхема =
Алгоритм заключается в том, что мы ищем точки оболочки последовательно, используя стек.
== Описание Алгоритма ==
[[File:Graham2.png|thumb|400px|Промежуточный шаг алгоритма. Зелеными линиями обозначена текущая выпуклая оболочка, синими - промежуточные соединения точек, красными - те отрезки, которые раньше входили в оболочку, а сейчас нет. На текущем шаге при добавлении точки <tex>p</tex> последовательно убираем из оболочки точки с <tex>i+3</tex>-ей до <tex>i+1</tex>-ой]]
== Корректность ==
Докажем, что на каждом шаге множество <tex>p_i</tex>-тых является выпуклой оболочкой всех уже рассмотренных точек. Доказательство проведем по индукции.
Рассмотрим истинную оболочку <tex>ch(S \cup {i}) = ch(S) \cup i \setminus P</tex>, где <tex>P</tex> - множество всех точек из <tex>ch(S)</tex>, видимых из <tex>i</tex>. Так как мы добавляли точки в нашу оболочку против часовой стрелки и так как <tex>i</tex>-тая точка лежит в <tex>ch(S \cup i)</tex>, то <tex>P</tex> состоит из нескольких подряд идущих последних добавленных в оболочку точек, и именно их мы удаляем на текущем шаге. Поэтому наша оболочка и истинная для <tex>i</tex> точек совпадают.
k = 2
for p = 3..n
while S[k - 1], S[k], S[p] has non-right orientationand k > 1
k--
swap(S[p], S[k + 1]) k++
return k + 1
== Сложность ==
Сортировка точек занимает <tex>O(n \log n)</tex> времени. При обходе каждая точка добавляется в ответ не более одного раза, поэтому сложность этой части - <tex>O(n)</tex>. Суммарное время - — <tex>O(n \log n)</tex>.
== Ссылки ==
= Алгоритм Эндрю =
Алгоритм, очень похожий на алгоритм Грехема. Он заключается в том, что мы находим самую левую и самую правую точки, ищем для точек над и под этой прямой выпуклую оболочку Грехемом - {{Acronym|для них начальные точки будут лежать на <tex>\pm inf</tex>, а сортировка по углу относительно далекой точки аналогична сортировке по координате|в этом легко убедиться, подставив в предикат поворота точку с 'бесконечно' координатой}}; после этого объединяем две оболочки в одну.
== Описание Алгоритма ==
[[File:andrew1.png|thumb|400px|Промежуточный шаг алгоритма. Зелеными линиями обозначена текущая выпуклая оболочка, синими - промежуточные соединения точек, красными - те отрезки, которые раньше входили в оболочку, а сейчас нет. На текущем шаге при добавлении точки <tex>p</tex> последовательно убираем из оболочки точки с <tex>i+3</tex>-ей до <tex>i+1</tex>-ой]]
<br/>
== Сложность ==
Сортировка точек занимает <tex>O(n \log n)</tex> времени. При обходе каждая точка добавляется в ответ не более одного раза, поэтому сложность двух обходов - <tex> 2 \cdot O(n)</tex>. Суммарное время - <tex>O(n \log n)</tex>. Также можно отметить тот факт, что Эндрю в целом работает быстрее чем Грэхем, так как использует всего <tex>O(n)</tex> поворотов, в то время как Грэхем использует <tex>O(n \log n)</tex> поворотов.
== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Graham_scan#Notes Одно предложение о нем]
* [https://en.wikibooks.org/wiki/Algorithm_Implementation/Geometry/Convex_hull/Monotone_chain Имплементация на 13 языках]
= Алгоритм Чена =
== Описание Алгоритма ==
# Разобьем все множество на произвольные группы по <tex>m</tex> штук в каждой. Будем считать, что <tex>m</tex> нам известно. Тогда всего групп окажется <tex>r = n / m</tex>.# Для каждой группы запускаем Грехема.# Начиная с самой нижней точки ищем саму выпуклую оболочку Джарвисом, но перебираем не все точки, а по одной из каждой группы. == Сложность == На втором шаге алгоритма в каждой группе оболочка ищется за <tex>O(m \log m)</tex>, общее время - <tex>O(r m \log m) = O(n \log m)</tex>. На третьем шаге поиск каждой следующей точки в каждой группе занимает <tex>O(\log m)</tex>, так как точки уже отсортированы, и мы можем найти нужную бинпоиском. Тогда поиск по всем группам займет <tex dpi="130">O(r \log m) = O(\frac{n}{m} \log m)</tex>. Всего таких шагов будет <tex>k</tex>, значит общее время - <tex dpi="130">O(\frac{kn}{m} \log m)</tex>.Итоговое время - <tex>O(n (1+ \frac{k}{m}) \log m)Найдем самую левую нижнюю точку </tex>p_0. Несложно видеть, что минимум достигается при <tex>m = k</tex> и самую правую нижнюю точку . В таком случае сложность равна <tex>p_1O(n \log k)</tex>. == Поиск <tex>m</tex> ==
Как заранее узнать <tex>k</tex>? Воспользуемся следующим методом. Положим <tex>m = 2)Возьмем все точки выше прямой ^{2^t}</tex>. Начиная с маленьких <tex>m</tex> будем запускать наш алгоритм, причем если на третьем шаге Джарвис уже сделал <tex>m</tex> шагов, то мы выбрали наше <tex>m</tex> слишком маленьким, будем увеличивать, пока не станет <tex>p_0 p_1m \ge k</tex>.Тогда общее время алгоритма - <tex> \sum_{t=0}^{O(\log\log k)} O\left(n \log(2^{2^t})\right) = O(n) \sum_{t=0}^{O(\log\log k)} O(2^t) = O\left(n \cdot 2^{1+O(\log\log k)}\right) = O(n \log k).</tex>
<br/><br/>
[[File:hull1.png|thumb|200px|]]
Очевидно, что выпуклая оболочка всего множества является объединением выпуклых оболочек для верхнего и нижнего множества. Докажем, что алгоритм верно строит оболочку для верхнего множества, для правого нижнего рассуждения аналогичны.
Точки <tex>p_0</tex> и <tex>p_1</tex> принадлежат оболочке.
* Наоборот, пусть какой-то точки <tex>t</tex> в нашей оболочке нет, а должна быть.
Пойдем вниз рекурсии в те ветки, где есть <tex>t</tex>. В какой-то момент <tex>t</tex> окажется внутри некоторого треугольника. Но тогда возникает противоречие с тем, что <tex>t</tex> принадлежит выпуклой оболочке - противоречие.
Таким образом, наша оболочка совпадает с истинной, а значит алгоритм корректен.
== Реализация ==
Заметим, что длина высоты, опущенная из точки <tex>t</tex> на отрезок <tex>ab</tex>, пропорциональна векторному произведению <tex>[bt \cdot ba]</tex>, поэтому для сравнения можно использовать именно это. Векторное произведение эквивалентно предикату поворота, поэтому можно так же использовать и его.
== Псевдокод ==
