Просмотр исходного текста страницы Степенные ряды

== Определение ==

{{Определение
|definition= 
Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n(x - x_0)^n</tex> {{---}} степенной ряд.
}}

Сделаем замену <tex>y = x - x_0</tex>. Тогда этот ряд превращается в 
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n y^n</tex>. Поэтому, далее будем рассматривать только ряды с <tex>x_0 = 0</tex>, переход к общему случаю получается сдвигом.

== Лемма Абеля == 

Вся теория степенных рядов основана на лемме Абеля. 

{{Лемма
|author=Абель
|statement=
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> {{---}} сходится. 
Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>сходится. 
|proof=
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>

Так как <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n </tex> - сходится, то <tex> a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> 
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> 
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex>

<tex>q^n</tex> {{---}} сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>, и поэтому, сходится. 
}}

== Радиус сходимости ==

Можно определить важнейшую для теории величину {{---}} радиус сходимости ряда.

{{Определение
|definition=
<tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть есть ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> и <tex>R</tex> {{---}} его радиус сходимости. Тогда
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.

2) <tex>\forall [a; b] \in (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.
 
3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится. 

4) <tex>|x| = R</tex> {{---}} неопределённость. 

|proof=
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани, 
<tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex> и ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n</tex> сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое. 

2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex>

<tex>\forall x \in [a; b] : |x| < \delta</tex>. По пункту 1, <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n \delta^n</tex> {{---}} абсолютно сходится, значит, к <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> на <tex>[a; b]</tex> применим признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов, откуда всё следует. 

3) Следствие определения радиуса сходимости.

4) Ну неопределённость <tex>:)</tex>
}}


Возникает вопрос: "Как найти <tex>R</tex>?". В большинстве случаев достаточно следующей теоремы:

{{Теорема
|statement=
Пусть есть <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, <tex>R</tex> {{---}} его радиус сходимости. Тогда:

1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.

2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>, то <tex>R = q</tex>

Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. Но она сложная и никому не нужна.

|proof=
Докажем первый пункт. Второй доказывается аналогично.

Рассмотрим <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x^n|</tex> и применим к нему признак Даламбера.

<tex>\frac{|a_{n + 1} x^{n + 1}|}{a_n x^n} = \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| |x| \to q^{-1} |x|</tex>. Тогда, по признаку Даламбера, при <tex>q^{-1} |x| < 1</tex> ряд сходится, при <tex>q^{-1} |x| > 1</tex> ряд расходится.

Итого: <tex>|x| < q</tex> {{---}} ряд сходится, <tex>|x| > q</tex> {{---}} ряд расходится.

Сопоставим с определением <tex>R</tex> и получим <tex>R = q</tex>.

Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши. 
}}

== Примеры == 

Примеры. <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex>, <tex>a_n = 1</tex>, <tex>\frac{|a_n|}{|a_{n + 1}| } = 1</tex>

<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty n^n x^n</tex>, <tex>\sqrt[n]{|a_n|} = n \to +\infty</tex>, <tex>R = \frac1{+\infty} = 0</tex>

<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty n^{-n}x^n</tex>, <tex>\sqrt[n]{|a_n|} = n^{-1} \to 0</tex>, <tex>R = \frac1{+0} = +\infty</tex>

<tex>R</tex> может принимать все значения <tex>[0; +\infty]</tex>.


Возникает вопрос. Подставим в <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex> вместо <tex>x</tex> <tex>x^2</tex>:
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| < 1</tex>. Однако, сумма как функция определена для всех <tex>x</tex>. Как это объяснить? Ответ: "В <tex>\mathbb{R}</tex> это объяснить нельзя. Нужно использовать <tex>\mathbb{C}</tex>".

<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}</tex>. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.


== Произведение степенных рядов == 

По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если вхять два степенных ряда, то на общё части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:

<tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, 
<tex>g(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty b_n x^n</tex>.

<tex>\sum\limits_{k = 0}^n a_k x^k b_{n - k} x^{n - k} = \left(\sum\limits_{k = 0}^n a_k b_{n - k} \right) x^n = c_n x^n</tex>

<tex>f(x) g(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty c_n x^n</tex>

Вывод: произведение двух степенных рядов по правилу Коши {{---}} степенной ряд с суммой, равной произведению сумм исходных рядов.

По теореме о радиусе сходимости, на любом отрезке из <tex>(-R; R)</tex> степенной ряд сходится равномерно.

Значит, по теоремам о почленном дифференцировании и интегрировании рядов, их можно дифференцировать и интегрировать, и опять будет получаться сходящийся степенной ряд. 


Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".

{{Утверждение
|statement=Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда
|proof=
Если <tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, то <tex>f'(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty a_nnx^{n - 1}</tex>, <tex>\int f(x)dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac1{n + 1}a_n x^{n + 1}</tex>

Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости. 

<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex>

<tex>|a_nx^n| \leq |na_nx^n|</tex>. То есть, <tex>x</tex>, для которого сходится <tex>\sum f'</tex>, будет сходиться и <tex>\sum f</tex>. 

Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда. 

Обратоное очевидно в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.
}}