Редактирование: Степенные ряды
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
== Определение == | == Определение == | ||
Строка 18: | Строка 17: | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> {{---}} сходится. | Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> {{---}} сходится. | ||
− | Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex> сходится. | + | Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>сходится. |
|proof= | |proof= | ||
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex> | <tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex> | ||
− | Так как <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n | + | Так как <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n </tex> - сходится, то <tex> a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> |
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> | <tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> | ||
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex> | <tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex> | ||
− | <tex> | + | <tex>q^n</tex> {{---}} сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>, и поэтому, сходится. |
}} | }} | ||
Строка 34: | Строка 33: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |||
|definition= | |definition= | ||
<tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>. | <tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>. | ||
Строка 52: | Строка 50: | ||
|proof= | |proof= | ||
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани, | 1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани, | ||
− | <tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex> | + | <tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex> и ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n</tex> сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое. |
2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex> | 2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex> | ||
Строка 72: | Строка 70: | ||
1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>. | 1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>. | ||
− | 2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ | + | 2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>, то <tex>R = q</tex> |
− | Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. | + | Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. Но она сложная и никому не нужна. |
|proof= | |proof= | ||
Строка 88: | Строка 86: | ||
Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши. | Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши. | ||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 102: | Строка 99: | ||
− | Возникает вопрос. Подставим в <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex> вместо <tex>x</tex> | + | Возникает вопрос. Подставим в <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex> вместо <tex>x</tex> <tex>x^2</tex>: |
− | |||
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| < 1</tex>. Однако, сумма как функция определена для всех <tex>x</tex>. Как это объяснить? Ответ: "В <tex>\mathbb{R}</tex> это объяснить нельзя. Нужно использовать <tex>\mathbb{C}</tex>". | <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| < 1</tex>. Однако, сумма как функция определена для всех <tex>x</tex>. Как это объяснить? Ответ: "В <tex>\mathbb{R}</tex> это объяснить нельзя. Нужно использовать <tex>\mathbb{C}</tex>". | ||
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}</tex>. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства. | <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}</tex>. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства. | ||
+ | |||
== Произведение степенных рядов == | == Произведение степенных рядов == | ||
− | По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если | + | По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если вхять два степенных ряда, то на общё части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши: |
<tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, | <tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, | ||
Строка 127: | Строка 124: | ||
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?" | Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?" | ||
− | |||
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда". | Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда". | ||
Строка 136: | Строка 132: | ||
Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости. | Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости. | ||
− | |||
− | |||
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex> | <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex> | ||
Строка 145: | Строка 139: | ||
Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда. | Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда. | ||
− | + | Обратоное очевидно в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают. | |
}} | }} | ||
− | |||
− | |||
− |