344
правки
Изменения
→Радиус сходимости
[[Операции анализа с функциональными рядами|<<]] [[Разложение функций в степенные ряды|>>]]
== Определение ==
|author=Абель
|statement=
Пусть для некоторого <tex>x_0</tex> <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n} x_0^n</tex> {{---}} сходится. Тогда <tex>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>сходится.
|proof=
<tex>|a_n x_1^n| = |a_n x_0^n| \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>
Так как <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n </tex> - сходится, то <tex> a_n x^n \to 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>\exists N\ \forall n > N\ |a_n x_0^n| < 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>|a_n x_1^n| < \left(\frac{|x_1|}{|x_0|}\right)^n</tex>, <tex>q = \frac{|x_1|}{|x_0|} < 1</tex>
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty q^n</tex> {{---}} сходится, поэтому, интересующий наш ряд мажорируется сходящимся числовым рядом <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex>, и поэтомузначит, он тоже сходится.
}}
{{Определение
|id=rad
|definition=
<tex>R = \sum sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
}}
|proof=
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> по определению точной верхней грани,
<tex>\exists x_0 : |x| < x_0 < R</tex> , и ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x_0^n</tex> сходится. Тогда по лемме Абеля получаем требуемое.
2) <tex>\exists \delta > 0 : [a; b] \subset [-\delta; \delta] \subset (-R; R)</tex>
1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.
2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}</tex>, то <tex>R = q\frac1q</tex>
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. <s> Но она сложная и никому не нужна. </s> Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.
|proof=
Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.
При <tex>\sqrt[n]{| a_n x^n |} = \sqrt[n]{|a_n|} |x| \to q |x| </tex>. При <tex> q |x| < 1</tex> - ряд сходится, значит <tex>|x| < \frac1q </tex>
}}
Возникает вопрос. Подставим в <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty x^n</tex> вместо <tex>x</tex> - <tex>(-x^2) </tex>:.
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac1{1 + x^2} : |x| < 1</tex>. Однако, сумма как функция определена для всех <tex>x</tex>. Как это объяснить? Ответ: "В <tex>\mathbb{R}</tex> это объяснить нельзя. Нужно использовать <tex>\mathbb{C}</tex>".
<tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty (-1)^n z^{2n} = \frac1{1 + z^2}</tex>. Тут есть корни знаменателя. Этим фактом объясняется усечённый характер этого равенства.
== Произведение степенных рядов ==
По теореме о радиусе сходимости, на промежутке сходимости ряд сходится абсолютно. Если вхять взять два степенных ряда, то на общё общей части их промежутка сходимости, ряды будут абсолютно сходиться, и, значит, с ними можно делать любые арифметические действия. В частности, их можно умножать по Коши:
<tex>f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>,
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости.
Продифференцируем ряд и домножим полученный ряд на <tex>x</tex>.
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex>
Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда.
}}
[[Операции анализа с функциональными рядами|<<]] [[Разложение функций в степенные ряды|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
