344
правки
Изменения
→Радиус сходимости
[[Операции анализа с функциональными рядами|<<]] [[Разложение функций в степенные ряды|>>]]
== Определение ==
{{Определение
|id=rad
|definition=
<tex>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> {{---}} сходится <tex>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <tex>R = 0</tex> и <tex>R = \infty</tex>.
1) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|</tex>, то <tex>R = q</tex>.
2) Если <tex>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}</tex>, то <tex>R = \frac1q</tex>
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <tex>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}</tex>. <s> Но она сложная и никому не нужна. </s> Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.
Второй пункт доказывается аналогично радикальным признаком Коши.
При <tex>\sqrt[n]{| a_n x^n |} = \sqrt[n]{|a_n|} |x| \to q |x| </tex>. При <tex> q |x| < 1</tex> - ряд сходится, значит <tex>|x| < \frac1q </tex>
}}
Выясним, что для <tex>f(x)</tex> и <tex>f'(x)</tex> одинаковые радиусы сходимости.
Продифференцируем ряд и домножим полученный ряд на <tex>x</tex>.
<tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^{n - 1} \to \sum\limits_{n = 1}^\infty na_nx^n</tex>
Поэтому, промежуток сходимости продифференцированного ряда <tex>\subset</tex> промежутку сходимости исходного ряда.
Обратное <s>очевидно </s> в силу того, что в пределах промежутка сходимости ряда его можно дифференцировать. Значит, эти промежутки совпадают.
}}
[[Операции анализа с функциональными рядами|<<]] [[Разложение функций в степенные ряды|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
