Редактирование: Стохастическое вложение соседей с t-распределением

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
'''Стохастическое вложение соседей с t-распределением''' (англ. ''t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding, t-SNE'') {{---}} метод визуализации данных высокой размерности с помощью представления каждой точки данных в двух или трехмерном пространстве, являющийся модификацией метода стохастического вложения соседей.
+
== Определение ==
  
[[Файл:MNIST_compression_methods_comparison.png|300px|thumb|right|Пример работы методов [[Стохастическое вложение соседей с t-распределением|t-SNE]], Isomap<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Isomap Isomap]</ref>, Sammon mapping<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Sammon_mapping Sammon mapping]</ref>, LLE<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_dimensionality_reduction#Manifold_learning_algorithms Manifold learning algorithms]</ref> на наборе данных [[Известные наборы данных|MNIST]]]]
+
[[Файл:MNIST_compression_methods_comparison.png|thumb|250px|Пример работы t-SNE, Isomap, Sammon mapping, LLE на dataset-е MNIST]]
  
== Стохастическое вложение соседей ==
+
'''t-SNE (Стохастическое вложение соседей с t-распределением)''' {{---}} алгоритм визуализации высокоразмерных данных с помощью представления каждой точки данных в двух или трехмерном пространстве.
  
Пусть стоит задача вложить множество точек в пространстве высокой размерности <tex>\{x_i \mid x_i \in X\}</tex> в пространство низкой размерности. Обозначим множество точек в пространстве низкой размерности, которые получаются после вложения через <tex>\{y_i \mid y_i \in Y\}</tex>. '''Стохастическое вложение соседей''' (англ. ''Stochastic Neighbor Embedding, SNE'') конвертирует расстояния в Евклидовом пространстве высокой размерности между точками в условные вероятности <tex>p_{j|i}</tex>. <tex>p_{j|i}</tex> {{---}} вероятность, что точка <tex>x_i</tex> выберет в качестве своего соседа точку <tex>x_j</tex> среди остальных точек данных. Будем считать, что вероятность для точки <tex>x_i</tex> найти соседа падает с увеличением расстояния от точки <tex>x_i</tex> в соответствии с распределением Гаусса<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Нормальное_распределение Нормальное распределение]</ref> с нулевым [[Математическое ожидание случайной величины|математическим ожиданием]] и [[Дисперсия случайной величины|стандартным отклонением]] <tex>\sigma_i</tex>. В соответствии с этим <tex>p_{j|i}</tex> выражается как
+
Данный алгоритм является модификацией алгоритма SNE, который будет описан далее.
  
<tex>p_{j|i} = \dfrac{\exp{(-\dfrac{{\left\Vert x_i - x_j \right\Vert}^2}{2\sigma_i^2})}}{\sum\limits_{k \neq i}\exp{(\dfrac{{-\left\Vert x_i - x_k \right\Vert}^2}{2\sigma_i^2})}}</tex>.
 
  
Теперь определим похожие вероятности <tex>q_{i|j}</tex> для пространства низкой размерности, куда вкладываются точки пространства высокой размерности.
+
== SNE ==
  
<tex>q_{j|i} = \dfrac{\exp{(-{\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)}}{\sum\limits_{k \neq i}\exp{({-\left\Vert y_i - y_k \right\Vert}^2)}}</tex>.
+
Пусть стоит задача вложить высокоразмерные точки <tex>x_i \in X</tex> в низкоразмерное пространство. Обозначим точки, которые получаются после вложения через <tex>y_i \in Y</tex>. '''SNE (Стохастическое вложение соседей)''' конвертирует расстояния в высокоразмерном Евклидовом пространстве между точками в условные вероятности <tex>p_{j|i}</tex>. <tex>p_{j|i}</tex> - вероятность, что точка <tex>x_i</tex> выберет в качестве своего соседа точку <tex>x_j</tex> среди остальных точек данных. Будем считать, что вероятность для точки <tex>x_i</tex> найти соседа падает с увеличением расстояния от точки <tex>x_i</tex> в соответствии с распределением Гаусса с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением <tex>\sigma_i</tex>. В соответствии с этим <tex>p_{j|i}</tex> выражается как <br />
 +
<tex>p_{j|i} = \frac{\exp{(-{\left\Vert x_i - x_j \right\Vert}^2/2\sigma_i^2)}}{\sum\limits_{k \neq i}\exp{({-\left\Vert x_i - x_k \right\Vert}^2/2\sigma_i^2)}}</tex>.
  
Данные вероятности получаются из тех же самых предложений, что были сделаны для пространства высокой размерности, за исключением того, что все распределения Гаусса имеют стандартное отклонение <tex>\dfrac{1}{\sqrt{2}}</tex> для всех точек.
+
Теперь определим похожие вероятности <tex>q_{i|j}</tex> для низкоразмерного пространства, куда вкладываются высокоразмерные точки. <br \>
 +
<tex>q_{j|i} = \frac{\exp{(-{\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)}}{\sum\limits_{k \neq i}\exp{({-\left\Vert x_i - x_k \right\Vert}^2)}}</tex>.
  
Если удастся хорошо вложить одно пространство в другое, <tex>p_{i|j}</tex> должны стать похожими на <tex>q_{i|j}</tex>. В связи с этим SNE пытается уменьшить разницу в распределении вероятностей. Стандартной мерой для измерения различия вероятностей служит дивергенция Кульбака-Лейблера<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Кульбака_—_Лейблера Расстояние Кульбака—Лейблера]</ref>:
+
Заметим, что данное распределение получается из тех же самых предложений, что были сделаны для высокоразмерного пространства, за исключением того, что все распределения Гаусса имеют стандартное отклонение <tex>\frac{1}{\sqrt{2}}</tex> для всех точек.
  
<tex>KL(P \Vert Q) = \sum\limits_j p_j \log_2 \dfrac{p_j}{q_j}</tex>.
+
Если удастся хорошо вложить высокоразмерное пространство в низкоразмерное, должны совпасть распределения совместных вероятностей. То есть <tex>p_{i|j}</tex> должны стать похожими на <tex>q_{i|j}</tex>. В связи с этим SNE пытается уменьшить разницу в распределении вероятностей. Стандартной мерой для измерения различия вероятностей служит дивергенция Кульбака-Лейблера<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Кульбака_—_Лейблера Расстояние Кульбака—Лейблера]</ref>. Определяется она так: <br />
 +
<tex>KL(P \Vert Q) = \sum\limits_j p_j \log_2 \frac{p_j}{q_j}</tex>.
  
В данном случае имеем <tex>|X|</tex> распределений. Тогда целевую функцию<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Целевая_функция Целевая функция]</ref>, которую будем оптимизировать, определим как сумму соответствующих дивергенций Кульбака-Лейблера. То есть:
+
В данном случае имеем <tex>|X|</tex> распределений. Тогда целевую функцию, который будем оптимизировать, определим как сумму соответствующих дивергенций Кульбака-Лейблера. То есть: <br />
 
+
<tex>C = \sum\limits_i KL(p_i \Vert q_i) = \sum\limits_i \sum\limits_j p_{j|i} \log_2 \frac{p_{j|i}}{q_{j|i}}</tex>.
<tex>C = \sum\limits_i KL(p_i \Vert q_i) = \sum\limits_i \sum\limits_j p_{j|i} \log_2 \dfrac{p_{j|i}}{q_{j|i}}</tex>.
 
  
 
Дивергенция Кульбака-Лейблера не является симметричной мерой, поэтому, например, вложение близких точек в удаленные даёт гораздо большее значение ошибки, чем вложение далеких точек в близкие. Другими словами, целевая функция нацелена на сохранение локальной структуры вокруг точек.
 
Дивергенция Кульбака-Лейблера не является симметричной мерой, поэтому, например, вложение близких точек в удаленные даёт гораздо большее значение ошибки, чем вложение далеких точек в близкие. Другими словами, целевая функция нацелена на сохранение локальной структуры вокруг точек.
  
Параметры <tex>\sigma_i</tex> подбираются следующим образом. Каждое значение параметра порождает свое распределение вероятностей <tex>P_i</tex>. Это распределение имеет энтропию<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Информационная_энтропия Информационная энтропия]</ref> <tex>H(P_i) = \sum\limits_j p_{j|i}\log_2 p_{j|i} </tex>, которая возрастает с ростом <tex>\sigma_i</tex>. В самом алгоритме <tex>\sigma_i</tex> вычисляются с помощью [[Вещественный двоичный поиск|вещественного двоичного поиска]] по заранее заданной пользователем величине, называемой перплексией<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Perplexity Perplexity]</ref>: <tex>Perp(P_i) = 2 ^ {H(P_i)}</tex>.
+
Параметры <tex>\sigma_i</tex> подбираются следующим образом. Каждое значение параметра порождает свое распределение вероятностей <tex>P_i</tex>. Это распределение имеет энтропию<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Информационная_энтропия Информационная энтропия]</ref> <br />
 
+
<tex>H(P_i) = \sum\limits_j p_{j|i}\log_2 p_{j|i} </tex>, <br />
Изначально точки <tex>y_i</tex> сэмплируют в пространстве низкой размерности в соответствии с распределением Гаусса с маленьким стандартным отклонением с математическим ожиданием в нуле, далее идет оптимизация целевой функции. Она проводится [[Стохастический градиентный спуск|методом градиентного спуска]]. Градиент равен:
+
которая возрастает с ростом <tex>\sigma_i</tex>. В самом алгоритме <tex>\sigma_i</tex> вычисляются с помощью бинарного поиска по заранее заданной пользователем величине, называемой перплексией<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Perplexity Perplexity]</ref>, которая определяется как <br />
 +
<tex>Perp(P_i) = 2 ^ {H(P_i)}</tex>.
  
<tex>\dfrac {\delta C} {\delta y_i} = 2 \sum\limits_j (p_{j|i} - q_{j|i} + p_{i|j} - q_{i|j})(y_i - y_j)</tex>
+
Изначально точки <tex>y_i</tex> сэмплируют в низкоразмерном пространстве в соответствии с Гауссовским распределением с маленьким стандартным отклонением с математическим ожиданием в нуле, далее идет оптимизация целевой функции. Она проводится методом градиентного спуска. Градиент равен: <br />
 +
<tex>\frac {\delta C} {\delta y_i} = 2 \sum\limits_j (p_{j|i} - q_{j|i} + p_{i|j} - q_{i|j})(y_i - y_j)</tex>
  
 
== Физическая интерпретация ==
 
== Физическая интерпретация ==
  
Есть следующая физическая интерпретация модели. В пространстве низкой размерности натянуты пружины между каждой парой точек <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>, действующие в направлении <tex>y_i - y_j</tex>. Пружины могут притягивать или отталкивать точки в зависимости от расстояния между ними. Сила, прикладываемая пружиной, пропорциональна её длине <tex>\left\Vert y_i - y_j \right\Vert</tex> и жесткости<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Жёсткость Жесткость]</ref> <tex>p_{j|i} - q_{j|i} + p_{i|j} - q_{i|j}</tex>. Оптимизация функционала в данной интерпретации эквивалентна поиску положения точек, в котором будет наблюдаться равновесие сил.
+
Есть следующая физическая интерпретация модели. Между точками в низкоразмерном пространстве натянуты пружины между каждой парой точек <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. действующие в направлении <tex>y_i - y_j</tex>. Пружины могут притягивать или отталкивать точки в зависимости от расстояния между ними. Сила, прикладываемая пружиной, пропорциональна её длине <tex>\left\Vert y_i - y_j \right\Vert</tex> и жесткости <tex>p_{j|i} - q_{j|i} + p_{i|j} - q_{i|j}</tex>. Оптимизация функционала в данном случае эквивалентна поиску положения точек, в котором будет наблюдаться равновесие сил.
 
 
== Симметричное стохастическое вложение соседей ==
 
 
 
Следующая модификация SNE носит название '''симметричное стохастическое вложение соседей''' (англ. ''Symmetric Stochastic Neighbor Embedding, Symmetric SNE''), которая будет использоваться дальше в t-SNE. Симметричный SNE в качестве альтернативы использует совместные вероятности вместо условных. Теперь:
 
 
 
<tex>C = KL(P \Vert Q) = \sum\limits_i \sum\limits_j p_{i j} \log_2 \dfrac {p_{i j}} {q_{i j}}</tex>.
 
 
 
Очевидным образом можно определить <tex>q_{i j}</tex>:
 
 
 
<tex>q_{i j} = \dfrac {\exp ({ -{\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2 }) } {\sum\limits_{k \neq l} \exp ({ -{\left\Vert y_k - y_l \right\Vert}^2) } }</tex>,
 
 
 
но то же решение для <tex>p_{i j}</tex> привело бы к проблеме, что для [[Выброс|выброса]] <tex>x_i</tex> <tex>p_{i j}</tex> будет очень маленькой для любого <tex>x_j</tex>. Таким образом, будет почти нулевой соответствующая дивергенция Кульбака-Лейблера для любого распределения <tex>q_{i j}</tex>. Это означало бы, что положение точки <tex>y_i</tex> определялось бы очень неточно относительно положения других точек и не было бы особой разницы в том, где она расположена.
 
 
 
Таким образом, в симметричном SNE в качестве <tex>p_{i j}</tex> рассматривается следующая величина:
 
  
<tex>p_{i j} = \dfrac {p_{i|j} + p_{j|i} } {2|X|}</tex>.
+
== Симметричный SNE ==
  
Очевидный плюс в том, что <tex>\sum\limits_j p_{i j} > \dfrac 1 {2|X|}</tex> для всех точек, что хорошо скажется на выбросах. А также теперь <tex>p_{i j} = p_{j i}</tex>, <tex>q_{i j} = q_{j i}</tex>.  
+
Следующая модификация SNE носит название '''симметричный SNE'''. Было странно, что в классическом SNE <tex>p_{j|i} \neq p_{i|j}</tex> и <tex>q_{j|i} \neq q_{i|j}</tex>. Симметричный SNE {{---}} попытка исправить эту ситуацию путем определения совместных вероятностей вместо условных. Теперь: <br />
 +
<tex>C = KL(P \Vert Q) = \sum\limits_i \sum\limits_j p_{i j} \log_2 \frac {p_{i j}} {q_{i j}}</tex>.
  
Авторы утверждают, что симметричный SNE вкладывает данные в пространство низкой размерности почти так же как и ассиметричный, а иногда даже лучше.  
+
Очевидным образом определяется <tex>q_{i j}</tex>: <br />
 +
<tex>q_{i j} = \frac {\exp { -{\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2 } } {\sum\limits_{k \neq l} \exp { -{\left\Vert y_k - y_l \right\Vert}^2 } }</tex>, <br />
 +
но то же решение для <tex>p_{i j}</tex> привело бы к проблеме, что для выброса <tex>x_i</tex> <tex>p_{i j}</tex> будет очень маленькой для любого <tex>x_j</tex>, таким образом будет почти нулевой соответствующая дивергенция Кульбака-Лейблера для любого распределения q_{i j}. Это означало бы, что положение точки <tex>y_i</tex> определялось бы очень неточно относительно положения других точек. Поэтому в t-SNE <tex>p_{i j}</tex> определили как: <br />
 +
<tex>p_{i j} = \frac {p_{i|j} + p_{i|j} } {2|X|}</tex>. <br />
 +
Очевидный плюс такого определения в том, что <tex>\sum\limits_j p_{i j} > \frac 1 {2|X|}</tex> для всех точек, что хорошо скажется на выбросах. А также теперь <tex>p_{i j} = p_{j i}</tex>, <tex>q_{i j} = q_{j i}</tex>. Авторами утверждается, что симметричный SNE вкладывает данные в низкоразмерное пространство почти также как и ассимитричный, а иногда даже лучше.  
  
 
Градиент при таком подходе принимает вид:
 
Градиент при таком подходе принимает вид:
<tex>\dfrac {\delta C} {\delta y_i} = 2 \sum\limits_j (p_{i j} - q_{i j})(y_i - y_j)</tex>.
+
<tex>\frac {\delta C} {\delta y_i} = 2 \sum\limits_j (p_{i j} - q_{i j})(y_i - y_j)</tex>.
  
 
== Проблема скученности ==
 
== Проблема скученности ==
  
Необходимо понимать, что невозможно абсолютно точно моделировать расстояния между точками пространства высокой размерности в низком. Например, в десятимерном пространстве существует <tex>11</tex> равноудаленных друг от друга точек, в то время как на плоскости может быть максимум <tex>3</tex> равноудаленные точки.
+
При использовании обычного SNE возникает следующая проблема, которая вытекает из разного распределения вероятностей в высокоразмерном и низкоразмерном пространствах. Пусть есть некоторое высокоразмерное пространство. Пусть в нем точки равномерно распределены вокруг некоторой точки <tex>x_i</tex>. Теперь попытаемся вложить высокоразмерное пространство в низкоразмерное. Заметим, что область пространства, доступная для размещения умеренно-удаленных точек высокоразмерного пространства относительно области пространства, доступное для размещения близких точек высокоразмерного пространства достаточно мала по сравнению с тем же самым в исходном пространстве (нужно сравнить отношения объемов сфер в низкоразмерном и высокоразмерном пространствах). Таким образом, если мы хотим правильно моделировать маленькие расстояния и не иметь их в низкоразмерном пространстве между умеренно-удаленными точками высокоразмерного пространства, следовало бы поместить умеренно-удаленные точки подальше от точки <tex>x_i</tex>, чем в исходном. В таком случае на слишком эти далекие точки в низкоразмерном пространстве будет действовать небольшая сила притяжения от точки <tex>x_i</tex>. Но, принимая во внимание остальные точки, таких сил будет достаточно много, что схлопнет точки и будет мешать образованию кластеров.
 
 
При использовании обычного SNE возникает проблема, которая вытекает из разного распределения вероятностей в пространствах высокой и низкой размерностей. Пусть есть некоторое пространство высокой размерности. Пусть точки <tex>x_i</tex> равномерно распределены в нем вокруг точки <tex>x_0</tex> в некотором шаре с радиусом <tex>R</tex>. Заметим, что, чем больше размерность пространства, тем больше точек попадет рядом с границей шара, поэтому количество близких к <tex>x_0</tex> точек с ростом размерности будет убывать. Теперь попытаемся вложить данное пространство в плоскость. Пусть точки <tex>x_i</tex> перешли в точки <tex>y_i</tex> на плоскости. Заметим, что если попытаться вложить точки <tex>x_i</tex> в круг радиуса <tex>R</tex> с центром в точке <tex>y_0</tex> образуется большое количество маленьких расстояний между точками <tex>y_i</tex>, т.к. объем сферы в высокомерном пространстве несопоставим с площадью круга на плоскости. Таким образом, если мы хотим правильно моделировать маленькие расстояния на плоскости, следовало бы поместить удаленные от <tex>x_0</tex> точки <tex>x_i</tex> ещё дальше, чем в исходном пространстве. Но в таком случае, вспоминая физическую интерпретацию, на соответствующие им точки <tex>y_i</tex> будет действовать небольшая сила притяжения к точке <tex>y_0</tex>. Принимая во внимание, что точек наподобие <tex>x_0</tex> в реальной выборке данных будет достаточно много, их пружины вместе образуют силу, что сожмет все точки в нуле и будет мешать образованию кластеров.
 
 
 
== Стохастическое вложение соседей с t-распределением ==
 
 
 
Чтобы избежать проблемы скученности, было решено использовать в пространстве низкой размерности t-распределение Стьюдента с одной степенью свободы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Стьюдента Распределение Стьюдента]</ref> вместо распределения Гаусса. Данное распределение очень похоже на распределение Гаусса, но имеет большую вероятностную массу на участках, отдаленных от нуля (Рис. 2.), что решает описанную выше проблему, т.к. теперь удаленные точки лучше отталкиваются.
 
 
 
[[Файл:Normal t-distribution comparison.png|300px|right|thumb|Рис. 2. Сравнение плотностей нормального распределения (синий цвет) и t-распределения с одной степенью свободы (красный цвет)]]
 
  
В связи с заменой распределения <tex>q_{i j}</tex> определяется следующим образом:
+
== t-SNE ==
  
<tex>q_{i j} = \dfrac {(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}} {\sum\limits_{k \neq l} (1 + {\left\Vert y_k - y_l \right\Vert}^2)^{-1}}</tex>.
+
Чтобы избежать проблемы скученности было решено использовать в низкоразмерном пространстве t-распределение Стьюдента с одной степенью свободы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Стьюдента Распределение Стьюдента]</ref> вместо распределения Гаусса. Данное распределение очень похоже на распределение Гаусса, но имеет большую вероятностную массу на участках, отдаленных от нуля, что решает описанную выше проблему, т.к. теперь удаленные точки лучше отталкиваются.
  
Еще одно свойство данного распределения состоит в том, что <tex>(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}</tex> описывает закон обратных квадратов<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_обратных_квадратов Закон обратных квадратов]</ref> для далеких точек в пространстве низкой размерности, что позволяет думать не об отдельных точках, а о кластерах, которые будут взаимодействовать между собой как отдельные точки.
+
В связи с заменой распределения <tex>q_{i j}</tex> определяется следующим образом: <br />
 +
<tex>q_{i j} = \frac {(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}} {\sum\limits_{k \neq l} (1 + {\left\Vert y_k - y_l \right\Vert}^2)^{-1}}</tex>.
  
После замены распределения изменился градиент целевой функции, теперь он равен:
+
Еще одно свойство данного распределения состоит в том, что <tex>(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}</tex> описывает закон обратных квадратов для далеких точек в низкоразмерном пространстве, что позволяет думать не об отдельных точках, а о кластерах, которые будут взаимодействовать между собой как отдельные точки.
  
<tex>\dfrac {\delta C} {\delta y_i} = 4 \sum\limits_j (p_{i j} - q_{i j})(y_i - y_j)(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}</tex>.
+
После замены распределения изменился градиент целевой функции, теперь он равен: <br />
 +
<tex>\frac {\delta C} {\delta y_i} = 4 \sum\limits_j (p_{i j} - q_{i j})(y_i - y_j)(1 + {\left\Vert y_i - y_j \right\Vert}^2)^{-1}</tex>.
  
== Оптимизации t-SNE ==
+
== Оптимизации в t-SNE ==
  
 
В t-SNE используется 2 основные оптимизации:
 
В t-SNE используется 2 основные оптимизации:
  
# Первая оптимизация называется "раннее сжатие". В данной оптимизации на ранних итерациях оптимизации к целевой функции добавляется [[Регуляризация|<tex>L_2</tex>-штраф]] на расстояния в пространстве низкой размерности, что влечет за собой сжатие всех точек в нуле. В связи с этим кластерам будет легче переходить друг через друга, чтобы правильно расположиться в пространстве.
+
# Первая оптимизация называется "раннее сжатие". В данной оптимизации на ранних итерациях оптимизации к целевой функции добавляется <tex>L_2</tex>-штраф на расстояния в низкоразмерном пространстве, что влечет за собой сжатие всех точек в нуле. В связи с этим кластерам будет легче переходить друг через друга, чтобы правильно расположиться в пространстве.
# Вторая оптимизация называется "раннее преувеличение". В данной оптимизации на ранних итерациях <tex>p_{i j}</tex> умножаются на некоторое положительное число, например на <tex>4</tex>. Так как <tex>q_{i j}</tex> остаются теми же самыми, они слишком маленькие, чтобы моделировать соответствующие <tex>p_{i j}</tex>. Как следствие, образуются очень плотные кластера, которые широко раскиданы в пространстве низкой размерности. Это создает много пустого пространства, которое используется кластерами, чтобы легко менять и находить наилучшее взаимное расположение.
+
# Вторая оптимизация называется "раннее преувеличение". В данной оптимизации на ранних итерациях <tex>p_{i j}</tex> умножаются на некоторое положительное число, например на <tex>4</tex>. Так как <tex>q_{i j}</tex> остаются теми же самыми, они слишком маленькие, чтобы моделировать соответствующие <tex>p_{i j}</tex>. Как следствие, образуются очень плотные кластера, которые широко раскиданы в низкоразмерном пространстве. Это создает много пустого пространства, которое используется кластерами, чтобы легко менять и находить наилучшее взаимное расположение.
 
 
[[Файл:T-SNE iterations visualization.gif||200px|thumb|right|Рис. 3. Визуализация работы t-SNE]]
 
 
 
На Рис. 3 представлена визуализация работы t-SNE, на которой видны эффекты от применения приведенных выше оптимизаций.
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  
 
*[[Уменьшение размерности]]
 
*[[Уменьшение размерности]]
*[[Метод главных компонент (PCA)]]
 
*[[Стохастический градиентный спуск]]
 
  
 
== Примечания ==
 
== Примечания ==
Строка 102: Строка 84:
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
  
# [http://www.jmlr.org/papers/volume9/vandermaaten08a/vandermaaten08a.pdf Laurens van der Maaten and Geoffrey Hinton {{---}} Visualizing Data using t-SNE]
+
# [http://www.jmlr.org/papers/volume9/vandermaaten08a/vandermaaten08a.pdf Visualizing Data using t-SNE]
# [http://datareview.info/article/algoritm-t-sne-illyustrirovannyiy-vvodnyiy-kurs datareview.info {{---}} Алгоритм t-SNE. Иллюстрированный вводный курс]
 
# [https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_t-distribution Wikipedia {{---}} Multivariate t-distribution]
 
 
 
[[Категория: Машинное обучение]]
 
[[Категория: Уменьшение размерности]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: