Суперпозиции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Отождествление переменных)
 
(не показано 39 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
{{Определение
Рассмотрим две булевы функции:
+
|definition =
<tex>f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n})</tex>
+
'''Суперпозиция функций''' (или '''сложная функция''', или '''композиция функций''', англ. ''function composition'') {{---}} это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.
<tex>g(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{m})</tex>
+
}}
 +
Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует [[Представление функции формулой, полные системы функций|замыкание]] данного множества функций.
 +
 
 +
== Способы получения суперпозиций ==
 +
Рассмотрим две [[Определение булевой функции|булевы функции]]:
 +
функцию <tex>f</tex> от <tex>n</tex> аргументов <tex>f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})</tex> и
 +
функцию <tex>g</tex> от <tex>m</tex> аргументов <tex>g(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m})</tex>.
 +
 
 +
 
 +
Тогда мы можем получить новую функцию из имеющихся двумя способами:
 +
#Подстановкой одной функции в качестве некоторого аргумента для другой;
 +
#Отождествлением аргументов функций.
 +
 
 +
=== Подстановка одной функции в другую ===
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Подстановкой''' (англ. ''substitution'') функции <tex>g</tex> в функцию <tex>f</tex> называется замена <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> значением функции <tex>g</tex>:
 +
 
 +
<center><tex>h(x_{1}, \ldots, x_{n+m-1}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, g(x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}), x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1})</tex></center>
 +
}}
 +
 
 +
Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.
 +
 
 +
При подстановке функции <tex>g</tex> вместо <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex>, результирующая функция <tex>h</tex> будет принимать аргументы, которые можно разделить на следующие блоки:
 +
 
 +
{|
 +
|1. <tex> x_{1}, \ldots, x_{i-1}</tex>
 +
|{{---}} аргументы функции <tex>f</tex> до подставленного значения функции <tex>g</tex>
 +
|-
 +
|2. <tex> x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}  </tex>
 +
|{{---}} используются как аргументы для вычисления значения функции <tex>g(y_{1}, \ldots, y_{m})</tex>
 +
|-
 +
|3. <tex> x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1} </tex>
 +
|{{---}} аргументы функции <tex>f</tex> после подставленного значения функции <tex>g</tex>
 +
|}
 +
 
 +
'''Пример:'''
 +
 
 +
Исходные функции:
 +
#<tex> f(a,b) = a \vee b </tex>
 +
#<tex> g(a)  = \neg a </tex>
 +
 
 +
<tex> h(a,b) = f(a,g(b)) = a \vee \neg b </tex> {{---}} подстановка функции <tex>g</tex> вместо второго аргумента функции <tex>f</tex>. В данном примере при помощи подстановки мы получили функцию <tex>h(a,b)=a \leftarrow b</tex>.
 +
 
 +
=== Отождествление переменных ===
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Отождествлением переменных''' (англ. ''identification of variables'') называется подстановка <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> вместо <tex>j</tex>-того аргумента:
 +
 
 +
<center><tex>h(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{j-1}, x_{i}, x_{j+1}, \ldots, x_{n})</tex></center>
 +
}}
 +
 
 +
Таким образом, при отождествлении <tex>c</tex> переменных мы получаем функцию <tex>h</tex> с количеством аргументов <tex>n-c+1</tex>.
 +
 
 +
'''Пример:'''
 +
 
 +
<tex> f(a,b) = a \vee b </tex> {{---}} исходная функция
 +
 
 +
<tex> h(a)   = a \vee a </tex> {{---}} функция с отождествленными первым и вторым аргументами
 +
 
 +
Очевидно, в данном примере мы получили функцию <tex>P_{1}</tex> {{---}} проектор единственного аргумента.
 +
 
 +
== Ранги суперпозиций ==
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Ранг суперпозиции''' (англ. ''rank of function composition'') {{---}} это минимальное число подстановок и отождествлений, за которое суперпозиция может быть получена из исходного множества функций.
 +
Суперпозиция <tex>K</tex> ранга <tex>n</tex> обозначается как <tex>K^{n}</tex>
 +
}}
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Определение_булевой_функции|Булевы функции]]
 +
* [[Представление_функции_формулой,_полные_системы_функций|Представление функции формулой, полные системы функций]]
 +
 
 +
== Источники информации ==
 +
* Осипова В.А., Основы дискретной математики: Учебное пособие, М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006, стр 62-63
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Композиция_функций Композиция функций в математике]
 +
*[http://mini-soft.ru/nstu/diskr/index.php Е.Л. Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская, Дискретная математика, Глава 7: Суперпозиция функций. Замыкание набора функций. Замкнутые классы функций. Полные наборы. Базисы]
 +
 
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Булевы функции]]

Текущая версия на 18:53, 2 января 2020

Определение:
Суперпозиция функций (или сложная функция, или композиция функций, англ. function composition) — это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.

Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует замыкание данного множества функций.

Способы получения суперпозиций[править]

Рассмотрим две булевы функции: функцию [math]f[/math] от [math]n[/math] аргументов [math]f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})[/math] и функцию [math]g[/math] от [math]m[/math] аргументов [math]g(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m})[/math].


Тогда мы можем получить новую функцию из имеющихся двумя способами:

  1. Подстановкой одной функции в качестве некоторого аргумента для другой;
  2. Отождествлением аргументов функций.

Подстановка одной функции в другую[править]

Определение:
Подстановкой (англ. substitution) функции [math]g[/math] в функцию [math]f[/math] называется замена [math]i[/math]-того аргумента функции [math]f[/math] значением функции [math]g[/math]:
[math]h(x_{1}, \ldots, x_{n+m-1}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, g(x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}), x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1})[/math]


Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.

При подстановке функции [math]g[/math] вместо [math]i[/math]-того аргумента функции [math]f[/math], результирующая функция [math]h[/math] будет принимать аргументы, которые можно разделить на следующие блоки:

1. [math] x_{1}, \ldots, x_{i-1}[/math] — аргументы функции [math]f[/math] до подставленного значения функции [math]g[/math]
2. [math] x_{i}, \ldots, x_{i+m-1} [/math] — используются как аргументы для вычисления значения функции [math]g(y_{1}, \ldots, y_{m})[/math]
3. [math] x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1} [/math] — аргументы функции [math]f[/math] после подставленного значения функции [math]g[/math]

Пример:

Исходные функции:

  1. [math] f(a,b) = a \vee b [/math]
  2. [math] g(a) = \neg a [/math]

[math] h(a,b) = f(a,g(b)) = a \vee \neg b [/math] — подстановка функции [math]g[/math] вместо второго аргумента функции [math]f[/math]. В данном примере при помощи подстановки мы получили функцию [math]h(a,b)=a \leftarrow b[/math].

Отождествление переменных[править]

Определение:
Отождествлением переменных (англ. identification of variables) называется подстановка [math]i[/math]-того аргумента функции [math]f[/math] вместо [math]j[/math]-того аргумента:
[math]h(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{j-1}, x_{i}, x_{j+1}, \ldots, x_{n})[/math]


Таким образом, при отождествлении [math]c[/math] переменных мы получаем функцию [math]h[/math] с количеством аргументов [math]n-c+1[/math].

Пример:

[math] f(a,b) = a \vee b [/math] — исходная функция

[math] h(a) = a \vee a [/math] — функция с отождествленными первым и вторым аргументами

Очевидно, в данном примере мы получили функцию [math]P_{1}[/math] — проектор единственного аргумента.

Ранги суперпозиций[править]

Определение:
Ранг суперпозиции (англ. rank of function composition) — это минимальное число подстановок и отождествлений, за которое суперпозиция может быть получена из исходного множества функций. Суперпозиция [math]K[/math] ранга [math]n[/math] обозначается как [math]K^{n}[/math]


См. также[править]

Источники информации[править]