Изменения

{{В разработкеОпределение|definition ='''Суперпозиция функций''' (или '''сложная функция''', или '''композиция функций''', англ. ''function composition'') {{---}} это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.}}Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует [[Представление функции формулой, полные системы функций|замыкание]] данного множества функций. == Способы получения суперпозиций ==Рассмотрим две [[Определение булевой функции|булевы функции]]:функцию <tex>f</tex> от <tex>n</tex> аргументов <tex>f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{3n})</tex> ифункцию <tex>g</tex> от <tex>m</tex> аргументов <tex>g(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m})</tex>.  Тогда мы можем получить новую функцию из имеющихся двумя способами:#Подстановкой одной функции в качестве некоторого аргумента для другой;#Отождествлением аргументов функций. === Подстановка одной функции в другую === {{Определение|definition ='''Подстановкой''' (англ.''substitution'') функции <tex>g</tex> в функцию <tex>f</tex> называется замена <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> значением функции <tex>g</tex>: <center><tex>h(x_{1}, \ldots, x_{n+m-1}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i-1}, g(x_{i}, \ldots, x_{i+m-1}), x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1})</tex></center>}} Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя. При подстановке функции <tex>g(</tex> вместо <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex>, результирующая функция <tex>h</tex> будет принимать аргументы, которые можно разделить на следующие блоки: {| |1. <tex> x_{1}, \ldots, x_{i-1}</tex> |{{---}} аргументы функции <tex>f</tex> до подставленного значения функции <tex>g</tex> |- |2. <tex> x_{i}, \ldots, x_{i+m-1} </tex> |{{---}} используются как аргументы для вычисления значения функции <tex>g(y_{1}, \ldots, y_{m})</tex> |- |3. <tex> x_{i+m}, \ldots, x_{n+m-1} </tex> |{{---}} аргументы функции <tex>f</tex> после подставленного значения функции <tex>g</tex> |} '''Пример:''' Исходные функции:#<tex> f(a,b) = a \vee b </tex>#<tex> g(a) = \neg a </tex> <tex> h(a,b) = f(a,g(b)) = a \vee \neg b </tex> {{---}} подстановка функции <tex>g</tex> вместо второго аргумента функции <tex>f</tex>.В данном примере при помощи подстановки мы получили функцию <tex>h(a,b)=a \leftarrow b</tex>. === Отождествление переменных ==={{Определение|definition='''Отождествлением переменных''' (англ.''identification of variables'') называется подстановка <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> вместо <tex>j</tex>-того аргумента: <center><tex>h(x_{1}, \ldots, x_{mj-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}) = f(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{j-1}, x_{i}, x_{j+1}, \ldots, x_{n})</tex></center>}} Таким образом, при отождествлении <tex>c</tex> переменных мы получаем функцию <tex>h</tex> с количеством аргументов <tex>n-c+1</tex>. '''Пример:''' <tex> f(a,b) = a \vee b </tex> {{---}}исходная функция <tex> h(a) = a \vee a </tex> {{---}} функция с отождествленными первым и вторым аргументами Очевидно, в данном примере мы получили функцию <tex>P_{1}</tex>{{---}} проектор единственного аргумента. == Ранги суперпозиций =={{Определение|definition ='''Ранг суперпозиции''' (англ. ''rank of function composition'') {{---}} это минимальное число подстановок и отождествлений, за которое суперпозиция может быть получена из исходного множества функций.Суперпозиция <tex>K</tex> ранга <tex>n</tex> обозначается как <tex>K^{n}</tex>}} == См. также ==* [[Определение_булевой_функции|Булевы функции]]* [[Представление_функции_формулой,_полные_системы_функций|Представление функции формулой, полные системы функций]] == Источники информации ==* Осипова В.А., Основы дискретной математики: Учебное пособие, М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006, стр 62-63*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Композиция_функций Композиция функций в математике]*[http://mini-soft.ru/nstu/diskr/index.php Е.Л. Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская, Дискретная математика, Глава 7: Суперпозиция функций. Замыкание набора функций. Замкнутые классы функций. Полные наборы. Базисы] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Булевы функции]]