Изменения

{{В разработкеОпределение|definition ='''Суперпозиция функций''' (или '''сложная функция''', или '''композиция функций''', англ. ''function composition'') {{---}}это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.}}Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует [[Представление функции формулой, полные системы функций|замыкание]] данного множества функций. == Способы получения суперпозиций ==Рассмотрим две [[Определение булевой функции|булевы функции]]:функцию <tex>f</tex> от <tex>n</tex> аргументов <tex>f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})</tex> ифункцию <tex>g</tex> от <tex>m</tex> аргументов <tex>g(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m})</tex>.

'''ПодстановкийПодстановкой''' (англ. ''substitution'') функции <tex>g</tex> в функцию <tex>f</tex> называется замена <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> функцией значением функции <tex>g</tex>:<br>

<center><tex>h(x_{1}, ...\ldots, x_{n+m-1}) = f(x_{1}, ...\ldots, x_{i-1}, g(x_{i}, ...\ldots, x_{i+m-1}), x_{i+m}, ...\ldots, x_{n+m-1})</tex></center>

Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя. При подстановке функции <tex>g </tex> вместо <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex>, результирующая функция <tex>h </tex> будет принимать аргументы, которые можно разделить на следующие блоки: <br>

|1. <tex> x_{1}, ...\ldots, x_{i-1}</tex> |– {{---}} аргументы функции <tex>f</tex> до вставленной подставленного значения функции <tex>g</tex>

|2. <tex> x_{i}, ...\ldots, x_{i+m-1} </tex> |– {{---}} используются как аргументы для вставленной вычисления значения функции <tex>g(x_y_{i1}, ...\ldots, x_y_{i+m-1})</tex>

|3. <tex> x_{i+m}, ...\ldots, x_{n+m-1} </tex> |– {{---}} аргументы функции <tex>f</tex> после вставленной подставленного значения функции <tex>g</tex>

==== '''Пример ====:''' Исходные функции:#<tex> f(a,b) = a \vee b </tex> - первая исходная функция<br>#<tex> g(a) = \neg a </tex> - вторая исходная функция<br> <tex> h(a,b) = f(a,g(b)) = a \vee \neg b </tex> {{- --}} подстановка функции <tex>g</tex> вместо второго аргумента функции <tex>f</tex><br>. В данном примере при помощи подстановки мы получили функцию <tex>h(a,b)=a \leftarrow b</tex>.

'''Отождествлением переменных''' (англ. ''identification of variables'') называется подстановка <tex>i</tex>-того аргумента функции <tex>f</tex> вместо <tex>j</tex>-того аргумента:<br> <center><tex>h(x_{1}, ...\ldots, x_{nj-1}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}) = f(x_{1}, ...\ldots, x_{i}, ...\ldots, x_{j-1}, x_{i}, x_{j+1}, ...\ldots, x_{n-1})</tex></center>

==== Пример ====Таким образом, при отождествлении <tex> f(a,b) = a \vee b c</tex> - исходная функция<br>переменных мы получаем функцию <tex> h(a) = a \vee a </tex> - функция с отождествленными первым и вторым аргументами<br>Очевидно, в данном примере мы получили функцию количеством аргументов <tex>P_{n-c+1}</tex> - проектор единственного аргумента.

== Суперпозиция См. также ==... образуют суперпозицию* [[Определение_булевой_функции|Булевы функции]]* [[Представление_функции_формулой,_полные_системы_функций|Представление функции формулой, полные системы функций]]

== Полн Источники информации ==* Осипова В.А., Основы дискретной математики: Учебное пособие, М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006, стр 62-63*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Композиция_функций Композиция функций в математике]*[http://mini-soft.ru/nstu/diskr/index.php Е.Л. Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская, Дискретная математика, Глава 7: Суперпозиция функций. Замыкание набора функций. Замкнутые классы функций. Полные наборы. Базисы]