Изменения

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью p ∈ (0, 1), а неудача — с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через <tex> v_{n} </tex> число успехов, случившихся в n испытаниях схемы Бернулли. Эта (случайная) величина может принимать целые значения от нуля до n в зависимости от результатов испытаний. Например, если все n испытаний завершились неудачей, то величина <tex> v_{n} </tex> равна нулю.

(формула Бернулли). Для любого k = 0, 1, . . . , n вероятность получить в n испытаниях k успехов равна P(<tex>v_{n} </tex> = k) = <mathtex>\binom{n}{k}</mathtex> <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>

Событие A = {<tex> v_{n} </tex> = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события A: когда первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события A отличаются лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно <math>\binom{n}{k}</math> cпособов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из <mathtex>\binom{n}{k}</mathtex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>

P(<tex>v_{10}</tex> = 4) = <mathtex>\binom{10}{4}</mathtex> <tex> (\genfrac{}{}{}{0}{1/}{2)}^ {4} </tex> <tex> (\genfrac{}{}{}{0}{1/}{2)}^ {10 - 4} </tex> ≈ 0,205;

P(<tex>v_{10}</tex> = 5) = <mathtex>\binom{10}{5}</mathtex> <tex> (\genfrac{}{}{}{0}{1/}{2)}^ {5} </tex> <tex> (\genfrac{}{}{}{0}{1/}{2)}^ {10 - 5}</tex> ≈ 0,246;

P(<tex>v_{10}</tex> = 6) = <mathtex>\binom{10}{6}</mathtex> <tex> (\genfrac{}{}{}{0}{1/}{2)}^ {6} </tex> <tex> (\genfrac{}{}{}{0}{1/}{2)}^ {10 - 6} </tex> ≈ 0,205;