Изменения

Случайная величина <tex>\xi</tex> имеет '''биномиальное распределение''' (англ. ''binomial distribution'') с параметрами <tex>n \in \mathbb N</tex> и <tex> p \in (0, 1)</tex> и пишут: <tex> \xi \in \mathbb B_{n, p}</tex> если <tex> \xi</tex> принимает значения <tex>k = 0, 1, \ldots ,n</tex> с вероятностями <tex >P(\xi = k) = </tex><tex > \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} </tex> .

| <tex>npn \cdot p \cdot (1 - p)^{n - 1}</tex>

| <tex>\dbinom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1 - p)^{n - k} </tex>

Для любого <tex >k = 0, 1, \ldots , n </tex> вероятность получить в <tex>n</tex> испытаниях <tex>k</tex> успехов равна <tex> P(v_{n} = k ) = </tex> <tex dpi="145"> \dbinom{n}{k} </tex><tex> \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}</tex>

Событие <tex>\{A = v_{n} = k\}</tex> означает, что в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k</tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k</tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> \cdot (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A</tex> отличаются лишь расположением <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Есть ровно <tex dpi="145">\dbinom{n}{k}</tex> способов расположить <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Поэтому событие <tex>A</tex> состоит из <tex dpi="145">\dbinom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> \cdot q ^ {n - k}</tex>

Вероятность того, что первый успех произойдёт в испытании с номером <tex>k \in \mathbb N = {1, 2, 3, \ldots}</tex> равна <tex>P(r = k) = pqp \cdot q^ {k - 1} </tex>

Вероятность первым <tex> k - 1 </tex> испытаниям завершиться неудачей, а последнему {{---}} успехом, равна <tex> P(r = k) = pqp \cdot q^{k - 1} </tex>

Пусть <tex> P(r = k) = pqp \cdot q^{k - 1} </tex> для любого <tex> k \in \mathbb N </tex>. Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k</tex> имеет место равенство: <tex> P(r > n + k | r > n) = P(r > k) </tex>

<tex > P(n_{1}, \ldots , n_{m}) = </tex> <tex> \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}!\cdot\ldots \cdot n_{m}!}\cdot {p_{1}}^{n_{1}}\cdot \ldots \cdot {p_{m}}^{n_{m}}

<tex>\dbinom{n}{n_1}\cdot\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_2} \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3}\cdot\ldots \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2 - \ldots - n_{m -1}}{n_m} = \dfrac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot \ldots \cdot n_{m}!}

<tex >P(v_{10} = 4) =</tex> <tex> \dbinom{10}{4}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^ {4} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 4} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>

<tex >P(v_{10} = 5) = </tex> <tex>\dbinom{10}{5}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 5}</tex><tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex>

<tex >P(v_{10} = 6) =</tex> <tex> \dbinom{10}{6}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 6}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>

Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй {{---}} с чётным. Пусть событие <tex> A_{k} </tex> состоит в том, что шесть очков впервые выпадет в испытании с номером <tex>k</tex>. По лемме, <tex > P(A_{k}) =</tex> <tex>\dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{k - 1} </tex>

<tex > P(A) =</tex><tex> \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} + \dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{4} \ldots = \dfrac{6}{11}.</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события <tex>B</tex>

<tex> P(B) =</tex> <tex>\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{366}+ \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} + \dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5} \ldots = \dfrac{5}{11}.

<tex > P(10, 3, 2) = </tex> <tex> \dfrac{15!}{10!\cdot 3!2\cdot2!}\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10}\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}\cdot \left(\dfrac{4}{6}\right)^{2}