Изменения

{{Определение |definition='''Схемой Бернулли''' (англ. ''Bernoulli scheme'') называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода {{---}} «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью <tex> p \in (0, 1)</tex> , а неудача {{---}} с вероятностью <tex> q = 1 - p </tex>.}}  == Распределение Бернулли=={{Определение |definition='''Распределение Бернулли''' (англ. ''Bernoulli distribution'') {{---}} описывает ситуации, где "испытание" имеет результат "успех" либо "неуспех".}}[[Дискретная случайная величина | Случайная величина]] <tex>\xi</tex> с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью <tex>p</tex> успеха : ни одного успеха или один успех. Функция распределения <tex> \xi</tex> имеет вид <tex> F_{\xi}(x) = P(\xi < x) \begin{cases}0, & x\leqslant 0 \\1 - p, & 0 < x \leqslant 1\\1, & x > 1 \end{cases}</tex> [[Файл:Распределение Бернулли.jpg‎]] == Биномиальное распределение =={{Определение |definition=Случайная величина <tex>\xi</tex> имеет '''биномиальное распределение''' (англ. ''binomial distribution'') с параметрами <tex>n \in \mathbb N</tex> и <tex> p \in (0, 1)</tex> и пишут: <tex> \xi \in \mathbb B_{n, p}</tex> если <tex> \xi</tex> принимает значения <tex>k = 0, 1, \ldots ,n</tex> с вероятностями <tex >P(\xi = k) = </tex><tex > \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} </tex> .}}Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в <tex> n </tex> испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха <tex>p</tex>.  Таблица распределения <tex> \xi </tex> имеет вид {| class="wikitable" style ="text-align:center" |- |<tex>\xi </tex> | 0 | 1 | <tex>\ldots</tex> | <tex>k</tex> | <tex>\ldots</tex> | <tex>n</tex> |- | <tex>P</tex> | <tex>(1 - p) ^ n </tex> | <tex>n \cdot p \cdot (1 - p)^{n - 1}</tex> | <tex>\ldots</tex> | <tex>\dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} </tex> | <tex>\ldots</tex> | <tex> p^n </tex> |} == Формула Бернулли ==Обозначим через <tex> v_{n} </tex> число успехов, случившихся в <tex> n</tex> испытаниях схемы Бернулли. Эта случайная величина может принимать целые значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> в зависимости от результатов испытаний. Например, если все <tex>n </tex> испытаний завершились неудачей, то величина <tex> v_{n} </tex> равна нулю. {{Теорема|id=th1|statement=Для любого <tex >k = 0, 1, \ldots , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex> испытаниях'''<tex>k</tex> успехов равна <tex> P(v_{n} = k ) = </tex> <tex dpi="145"> \dbinom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}</tex> |proof=Событие <tex>\{A =v_{n} = Определение k\}</tex> означает, что в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k</tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k</tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} \cdot (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A</tex> отличаются лишь расположением <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Есть ровно <tex dpi="145">\dbinom{n}{k}</tex> способов расположить <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Поэтому событие <tex>A</tex> состоит из <tex dpi="145">\dbinom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} \cdot q ^ {n - k}</tex>Набор вероятностей в теореме называется биномиальным распределением вероятностей.}}

Схемой Бернулли называется последовательность независимых '''Геометрическое распределение''' (англ. ''geometric distribution'') {{---}} распределение дискретной случайной величины, равной количеству испытанийслучайного эксперимента до наблюдения первого успеха.}} {{Лемма|id=th1|statement=Вероятность того, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом что первый успех произойдёт в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью номером <tex>k \in \mathbb N = {1, 2, 3, \ldots}</tex> равна <tex>P(r = k) = p ∈ (0, \cdot q^ {k - 1} </tex>|proof=Вероятность первым <tex> k - 1)</tex> испытаниям завершиться неудачей, а неудача — с вероятностью последнему {{---}} успехом, равна <tex> P(r = k) = p \cdot q ^{k - 1} </tex>}}  {{Теорема|id= th1|statement=Пусть <tex> P(r = k) = p \cdot q^{k - 1 − p} </tex> для любого <tex> k \in \mathbb N </tex>. Обозначим через ν_Тогда для любых неотрицательных целых <tex>n </tex> и <tex>k</tex> имеет место равенство: <tex> P(r > n + k | r > n) = P(r > k) </tex>|proof=По определению условной вероятности,<tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n+ k, r > n)} число успехов, случившихся в {P(r > n испытаниях схемы Бернулли. Эта )} = \dfrac{P(случайнаяr > n + k) величина может принимать целые значения от нуля до }{P(r > n )} </tex> <tex>\left(1\right)</tex>Последнее равенство верно в зависимости от результатов испытанийсилу того, что событие <tex> {r > n + k} </tex> влечёт событие <tex>{r > n}</tex>, поэтому их пересечением будет событие <tex> {r > n + k}</tex>. НапримерНайдём для целого <tex> m \geqslant 0</tex> вероятность <tex> P(r > m)</tex> : событие <tex> r > m </tex> означает, если все n что в схеме Бернулли первые <tex>m</tex> испытаний завершились неудачей«неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^{m}</tex>. Возвращаясь к формуле <tex>\left(1\right)</tex> получаем, что эта [[Дискретная случайная величина | случайная величина ν_]] равна <tex > P(r > n + k | r > n) = </tex> <tex> \dfrac{P(r > n+ k, r > n)} равна нулю{P(r > n)} = \dfrac{q^{n + k}} {q^{n}} =</tex> <tex> q^{k} = P(r > k)</tex>. 

Обозначим через <tex>P(n_{1}, \ldots , n_{m})</tex> вероятность того, что в <tex>n</tex> независимых испытаниях первый исход случится <tex> n_{1}</tex> раз, второй исход {{---}} <tex>n_{2}</tex> раз, и так далее, наконец, <tex>m</tex>-й исход {{---}} <tex>n_{m}</tex> раз тогда верна формула Бернулли:<tex > P(n_{1}, \ldots , n_{m}). Для любого k = 0</tex> <tex> \dfrac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot\ldots \cdot n_{m}!} \cdot {p_{1}}^{n_{1}} \cdot \ldots \cdot {p_{m}}^{n_{m}}</tex>|proof=Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее. Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}} \ldots p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, \ldots , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек, и так далее Это число равно<tex>\dbinom{n}{n_1} \cdot\dbinom{n - n_1 - n_2}{n_2} \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} \cdot\ldots \cdot \dbinom{n - n_1 - n_2 - \ldots - n_{m -1}}{n_m} = \dfrac {n !}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot \ldots \cdot n_{m}!}</tex>}} == Примеры ====== Правильная монета ====Правильная монета подбрасывается <tex>10</tex> раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от <tex>4</tex> до <tex>6</tex> раз. Вычислим отдельно вероятности получить <tex>4, 5</tex> и <tex>6</tex> гербов после десяти подбрасываний монеты. <tex >P(v_{10} = 4) =</tex> <tex> \dbinom{10}{4} \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^ {4} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 4} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex> <tex >P(v_{10} = 5) = </tex> <tex>\dbinom{10}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {5} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 5}</tex><tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex> <tex >P(v_{10} = 6) =</tex> <tex> \dbinom{10}{6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {6} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^ {10 - 6}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex> Сложим вероятности несовместных событий:<tex>P(4 \leqslant v_{10} \leqslant 6) = P(v_{10} = 4) + P(v_{10} = 5) + P(v_{10} = 6) ~\approx ~ 0{.}656 </tex> ==== Правильная игральная кость с двумя исходами ====Два игрока по очереди подбрасывают правильную игральную кость. Выигрывает тот, кто первым выкинет шесть очков. Найти вероятность победы игрока, начинающего игру. Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй {{---}} с чётным. Пусть событие <tex> A_{k} </tex> состоит в том, что шесть очков впервые выпадет в n испытаниях испытании с номером <tex>k успехов равнаP</tex>. По лемме, <tex > P(ν_A_{nk} ) = </tex> <tex>\dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{k- 1} </tex>События <tex>A , B</tex>, означающие победу первого и второго игроков соответственно, представимы в виде объединения взаимоисключающих событий:<tex> A = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{5} \cup \ldots , B = B_{2}\cup B_{4} \cup B_{6} \cup \ldots </tex>Вероятности этих объединений равны суммам вероятностей слагаемых: <tex > P(A) =<math/tex><tex> \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} + \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\binomright)^{4} \ldots = \dfrac{6}{n11}.</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события <tex>B</tex> <tex> P(B) =</tex> <tex> \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3} + \dfrac{1}{6} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5} \ldots = \dfrac{5}{11}. </tex> ==== Правильная игральная кость с тремя исходами ====Игральная кость подбрасывается пятнадцать раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани.  Так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\dfrac{1}{k6}</mathtex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex> \times pdfrac{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна <tex > P(10, 3, 2) = </tex> <tex> \dfrac{15!}{10! \cdot 3! \cdot2!} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10} \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{k3} \cdot \left(\dfrac{4}{6}\times qright)^{n 2}</tex> ==См. также== *[[Дискретная случайная величина]]*[[Математическое ожидание случайной величины]] ==Источники информации==*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Бернулли Википедия {{---}} Распределение Бернулли]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальное_распределение Википедия {{---}} Биномиальное распределение]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Бернулли Википедия {{---}} Формула Бернулли]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрическое_распределение Википедия {{---}} Геометрическое распределение]*''Н.И Чернова'' Теория вероятности {{--- k}} Новосибирск, 2009.[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Теория вероятности]]